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  • 阿基米德:數學之神

    2021/07/21
    導讀
    上帝乃幾何學家。——柏拉圖01敘拉古城公元前287年,阿基米德出生在地中海最大的島嶼——西西里東南港市敘拉古

    上帝乃幾何學家——柏拉圖



    01

    敘拉古城

    公元前287年,阿基米德出生在地中海最大的島嶼——西西里東南港市敘拉古(又譯錫拉庫薩),這個年份是依據他的死亡年份和壽命推算出來的。


    12世紀的君士坦丁堡(今伊斯坦布爾)詩人、學家策策斯(Tzetzes)被認為是學究的完美典范,這位詩人的母親是格魯吉亞人,年輕時擔任省長秘書,后來以教書和寫作為生。他最著名的一部拜占庭重音(教誨)詩集《千千詩集》(又名《史書》)共一萬二千多行,引用作家達四百多人,包含了許多軼文。其中提到,“智者阿基米德是敘拉古人,著名的機械制造師,終生研究幾何學,活到七十五歲。”


    阿基米德原本是有傳記的,作者是他的一位叫赫拉克利德(Heraclides)的朋友。赫拉克利德與公元前6世紀的哲學家赫拉克利特(Heracleitus)不是同一個人,也非同一個時代。還有一位公元前4世紀的天文學家赫拉克利德斯(Heracleides)名字也很相近,后者是柏拉圖的學生和學園管理者,曾率先提出地動說,并認為水星和金星是繞日旋轉的。6世紀的數學注釋家歐托基奧斯(Eutocius)曾不止一次提到這本傳記,可惜后來失傳了。阿基米德的生平事跡,如同米利都的泰勒斯一樣,散見于古代的各種文獻中。


    古希臘共有四個主要部落,分別是亞加亞人(邁錫尼人)、愛奧尼亞人、多利安人和伊奧尼亞人。敘拉古住著多利安人,稍北的卡塔尼亞住著愛奧尼亞人;一水之隔的亞平寧半島最南端住著伊奧尼亞人(泰勒斯被認為是伊奧尼亞學派的創建人),稍北的畢達哥拉斯學園所在地塔蘭托則住著邁錫尼人,他們說著不同的方言。


    多利安人最早出現在荷馬史詩《奧德賽》中,他們生活在克里特島上。追根溯源,多利安人可能來自巴爾干島北部,后遷移到伯羅奔尼撒半島、羅德島、克里特島和西西里島東部地區。敘拉古的多利安人多是從科林斯移民來的,那是在伯羅奔尼撒半島與希臘本土的接壤處。


    大約在阿基米德出生前一個世紀,敘拉古人建立起一個帝國,他們向北把勢力擴大到意大利南部,向南與迦太基(今北非突尼斯)人進行了三次戰爭,后者是地中海東岸的腓尼基人建立起來的。但在阿基米德出生前兩年,敘拉古帝國突然瓦解。


    在阿基米德生活的年代,古希臘的鼎盛時期已經過去,經濟、文化中心轉移到埃及北部的地中海港市亞歷山大;與此同時,亞平寧半島上新興的羅馬帝國,正不斷地擴張勢力。阿基米德生長在這一新舊交替的時代,而敘拉古城也成為多種勢力的角力場所。


    阿基米德出身貴族,他的父親菲迪亞斯是一位天文學家,與早些時候的那位大雕刻家、畫家、建筑師同名,卻沒有親戚關系,后者曾參與雅典衛城上的巴特農神廟建設。有人因此推斷他的爺爺是藝術家,或者至少是藝術愛好者。


    可以確認的是,阿基米德從小受父親影響,喜歡思考和研究。大約在十歲左右,父親送他到埃及的亞歷山大念書,那是當時西方世界的學術中心,有一座著名的大學和圖書館。學者云集,數學、天文學、醫學研究較為發達,阿基米德跟隨包括歐幾里得門徒在內的專家學習,打下了日后從事科學研究的基礎。據說他在亞歷山大發明了螺旋泵——一種提水的裝置,曾被埃及人廣泛使用。


    02

    亞歷山大


    阿基米德在亞歷山大求學的經歷我們不甚了解,其時赫赫有名的大數學家歐幾里得很可能已不在人世,至少離開教學崗位了。因為歐幾里得雖然生卒年和出生地不詳,但他的執教應大體在托勒密一世統治時期(約公元前323-前285)。在亞歷山大期間,阿基米德至少結交了三位同窗或好友,科農(Conon)、多西修斯(Dositheus)和厄拉托色尼(Eratosthenes)


    科農是薩摩斯人,與他的前輩老鄉畢達哥拉斯一樣,也是一位數學家和天文學家。科農是阿基米德最要好、最信得過的朋友,兩人的友誼維持了一生,他后來成為托勒密三世的宮廷天文官。科倫在圓錐曲線方面的工作,成為阿波羅尼奧斯(Apollonius)《圓錐曲線論》第四卷的基礎。


    厄拉托色尼是北非昔蘭尼加(今利比亞拜爾蓋)人,他比阿基米德小十來歲,卻有著“柏拉圖第二”的雅號,后來擔任亞歷山大圖書館館長,平素非常講究穿戴,八十歲時因為雙目失明絕食身亡。厄氏多才多藝,寫過十卷本的古代戲劇史,是一位五項全能運動員,他在數學方面創立了篩法,這個方法及其推廣如今在數論領域仍十分有用。他測出了地球的周長,與準確的數字只差兩百公里;還根據大西洋和印度洋的潮漲潮落情況,推斷它們是相通的,15世紀的葡萄牙探險家達·伽馬依據此理論從水路到達印度。他還利用極圈和回歸線劃分出地球的五個氣候帶,沿用至今。


    返回故鄉敘拉古以后,阿基米德與科農、厄拉托色尼保持通信,他把《拋物線求積》、《論螺線》、《球柱和圓柱體》的論著寄給科倫,把《論力學定理和方法》和《群牛問題》的論著寄給厄拉托色尼,通過他們也轉達給了亞歷山大的同行,而兩位朋友也把自己的工作告訴阿基米德。


    據4世紀的數學家帕波斯(Pappus)所言,著名的阿基米德螺線是科農發現的,現今巴黎二十個區便是依此曲線排列,這個圖案還出現在2004年雅典奧運會的閉幕式上。可惜,科農本人的著作均已遺失,包括7卷本的《論天文學》和《答色臘西達庫斯》,后者討論了圓錐曲線和圓的交點問題。


    科農去世以后,阿基米德又與科農的學生、研究歷法和天氣預報的猶太人多西修斯通信,他在信中寫道,“聽說科農已經死了,他是我非常好的朋友,而你與他十分相熟,又是學習幾何的學生……因此我寫信給你,寄給你一些幾何定理,因為我已經習慣寫信告訴科農了。”


    從阿基米德其他著作的前言中我們得知,多西修斯在給阿基米德的信中,也經常問起一些數學問題,至于具體內容是什么,無人知曉。無論如何,阿基米德的主要學術成果,均是在與這些亞歷山大學者的通信中為人所知并保存下來的。


    究其原因,古希臘沒有學術刊物,出版書籍也非易事,因此許多學者通過給朋友們寫信,向世人宣布自己的學術成果,附信的內容也成為論著的序言。比阿基米德稍晚的阿波羅尼奧斯也是這樣做的,他與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大黃金時期的三大數學家。


    阿波羅尼奧斯年輕時也在亞歷山大求學,后來到過小亞細亞米利都北面的帕加馬王國,那里有一個大圖書館,規模僅次于亞歷山大。他在帕加馬認識歐德莫斯(Eudemus)和阿塔羅斯(Attalus),回到亞歷山大后,把他的名著《圓錐曲線論》前3卷和后5卷分別寄給歐德莫斯和阿塔羅斯,兩人因此在數學史上留名。但此歐德莫斯非數學史家歐德莫斯,后者來自羅德島,是亞里士多德的學生。


    03

    力學之父


    阿基米德是敘拉古統治者希羅王的親戚,和王子格倫是朋友,格倫后來繼承了王位。公元前1世紀的羅馬建筑師、作家維特魯威在其十卷本的名著《建筑學》第九卷中,記敘了阿基米德和希羅王一則千古傳誦的故事。


    隨著希羅王的政治威望和權勢的日益提高,他決定建造一個華貴的神龕,內裝一個純金的王冠(wreath,其實是環狀花冠),以報答神靈的恩澤。金匠如期完成了任務,本應得到獎賞,偏偏這時候有人告狀,說他偷去一部分金子,代之以銀子。國王甚為憤怒,卻又無法判斷真假,便請聰明能干的阿基米德來鑒定。  


    起初,阿基米德也想不出好辦法。苦悶之際,他到公共浴室洗澡,當浸入放滿水的木桶時,一部分水溢出桶外,他的身體頓覺輕飄,于是豁然開朗。阿基米德領悟到,不同質料的物體,雖然重量相同,但因為體積不同,排出的水量也必不相同。根據這一道理,不僅可以判斷王冠是否摻假,還可以知道少去的黃金份量。


    阿基米德高興地跳了起來,赤身裸體地用多利安方言高喊“尤里卡!”意思是,“我找到了!”他不僅揭穿了金匠的劣跡,且將其上升到理論高度,得到流體靜力學的浮力原理:物體在流體中減輕的重量,等于排去流體的重量。


    這個原理記載在阿基米德的著作《論浮體》中,《建筑學》因為這則故事被數學家們知曉,文藝復興以后它成為古典時期的建筑名著。另有作者記成是希羅王頭上的王冠,如同專家所分析的,這不甚合理,如此輕巧的體積恐不能混入銀子,也難以用排水法鑒別真偽。


    1500年以后,意大利畫家達·芬奇依據《建筑學》第3卷中提出的人體比例要求和黃金分割律,繪出了鋼筆素描《維特魯威人》,后來成為藝術史上最著名的素描,《建筑學》也借此進入了繪畫史。其實,維特魯威本姓波利奧,因為與同時代的詩人、演說家兼歷史學家同名,故被后世寫成維特魯威。


    在帕波斯的著作《數學匯編》里,記載了阿基米德另外一個有名的杠桿定律的故事。這個定律說的是,如果兩個物體與一個支點的距離反比于其重量,則杠桿獲得平衡。杠桿定律奠定了力學的基礎,阿基米德因此發出豪言壯語:“給我一個支點,我可以移動地球。”(希臘語原文:Δ?? μοι π? στ? κα? τ?ν γ?ν κιν?σω. 英譯:Give me a standing place and I will move the earth.)


    其實,準確的說法是,“如果另外有一個地球,就可以站在那兒移動這一個。”這是1世紀羅馬帝國時代的希臘傳記作家普魯塔克在《馬塞勒斯傳》里描寫的,阿基米德還向希羅王夸下海口:任何重物都可以用一個給定的力來移動。國王聽后大為驚訝,要求阿基米德用事實來證明。


    于是阿基米德從國王的船隊中選了一艘有三根桅桿的貨船,那通常需要很多人花大力氣才拖得動。阿基米德安裝了一組滑輪,一個人獨自握著繩子站在遠處,輕而易舉地將船拉了過來。而依據5世紀的拜占庭哲學家普羅克洛斯(Procrus)的說法,那是希羅王為托勒密王建造的一艘大船,下水時幾乎動用了所有的敘拉古人,而阿基米德憑借自己發明的機械裝置,使得國王一個人就把它拖動。


    國王因此對他佩服得五體投地,并當眾宣布,“從現在起,阿基米德說的話我們都要相信。”有趣的是,筆者發現,今天通過巴拿馬運河或蘇伊士運河上的每一艘巨輪,依然依靠軌道上的滑輪車牽引。


    04

    數學之神


    阿基米德不僅出身高貴,內心也具有貴族氣質,他對自己的實用發明并不十分看重,這從他流傳下來的著作可以看出,那幾乎是清一色的數學問題,而機械方面的發明全仰仗他人的記載,但他對機械學的興趣還是深深地影響了他的數學思想。


    《論球與圓柱》可能是阿基米德最得意的數學著作,序言是他給多西修斯的一封信。書中給出了六個定義和五個公理,例如:兩點之間的所有連線,以直線最短;以相同的平面曲線為邊界的曲面中,以平面的面積最小。最著名的公理也叫阿基米德公理,用現代數學語言來描述就是:任給兩個正數a和b,必存在自然數n,使得na > b。從這些定義和公理出發,阿基米德推導出了六十個命題。


    例如,阿基米德發現并證明了,球面積等于它的大圓面積的4倍,球體積等于以它的大圓為底、半徑為高的圓錐體積的四倍。后者意味著:以球的大圓為底、直徑為高的圓柱的體積是球體積的二分之三。實際上,這便是著名的球體積公式:


    這屬于命題34,那也是應他要求刻在自己墓碑上的著名論斷。七百年以后,利用3世紀數學家劉徽提出的牟合方蓋思想,中國晉朝的數學家祖沖之、祖暅父子也得到了同一結果。


    又如,命題14說的是,正圓錐體的側面積等于以底面半徑與母線的比例中項為半徑的圓的面積。實際上,這就等于圓周率、半徑和母線三者的乘積。但在古希臘,由于畢達哥拉斯學派發現了的無理性,引發了第一次數學危機,線段的長度是否存在成了問題。


    雖說二個世紀以后,歐多克斯(Eudoxus)通過引進不可通約概念,將這一危機化解。不過,數學家仍避免線段的長度概念,這就是為何阿基米德選擇用矩形的面積來表達。從阿基米德公理出發,他用窮竭法(method of exhaustion)嚴格地證明了歐幾里得《幾何原本》中的一條定理:只要邊數足夠多,圓外切正多邊形的面積與內接正多邊形的面積之差可以任意小。


    所謂窮竭法是公元前5世紀的雅典演說家、政治家安提芬(Antiphon) 創立的,他在研究“化圓為方”問題時,提出了使用圓內接正多邊形面積“窮竭”圓面積的思想。稍后,歐多克斯加以改進,將其定義為:“在一個量中減去比其一半還大的量,不斷重復這個過程,可以使剩下的量變得任意小”。


    阿基米德進一步完善了窮竭法,并將其廣泛應用于求解曲面面積和旋轉體體積。例如,他通過把[0,1]區間n等分,累加矩形條面積,算出了和x軸在該區間上曲邊三角形的面積。遺憾的是,用窮竭法計算不同的曲邊形面積時,需要采用不同的直邊形去逼近,計算過程采用了特殊的技巧,因而不具有一般性,無法推廣到一般的曲邊梯形。


    《圓的測量》是一本內容較薄的著作,只有三個命題,均是有關圓的面積和圓周率的,卻同樣不可小覷。雖說歐幾里得在《幾何原本》里討論了許多圓的性質,卻壓根沒提圓周率的值和圓面積、圓周長的計算公式。


    阿基米德彌補了這一不足,其中命題1是這樣敘述的:圓的面積等于一個以其周長和半徑作兩個直角邊的直角三角形的面積。簡單的說就是:圓的面積等于半徑乘半周長。這與中國數學古籍《九章算術》里的說法“半周長半徑相乘得積步”,或者公元263年劉徽注釋的說法“半周乘半徑為圓冪”,是等價的。


    命題3給出了圓的周長與直徑之(0圓周率)的上下界,即:


    阿基米德用他的窮竭法,分別計算出了內接和外切正96邊形的周長。這也是科學史上首次用上、下界來確定一個量的近似值,同時提供了誤差估計。值得一提的是,不等式左右兩端都是連分數的漸近形式,換句話說,在不超過7或71的所有分數中,它們是最接近于圓周率值的。阿基米德得到的圓周率是3.14,精確到小數點后兩位,這是公元前人類所得到了最精確的結果。在此之前,最好的結果是古埃及人的3.1,而古巴比倫人和后來的《九章算術》給出的結果都是3.0。


    在《論錐形體和球形體》中,阿基米德研究了橢圓的面積以及旋轉體的體積,進一步深化了窮竭法,十分接近今天的積分法思想。而在《論螺線》一書中,他研究了螺線與出發點的垂線圍成的曲線面積,以及螺線的切線,后者用到的微分學的思想。所謂螺線,是指沿繞一定點勻速旋轉的直線作勻速運動的點的軌跡,用牛頓發明的極坐標表示就是如同20世紀的美國數學史家E·T·貝爾所言,他(阿基米德)比牛頓和萊布尼茲領先兩千多年發明了積分學,在他的一個問題(指螺線)中,領先他們發明了微分學。難怪1世紀的羅馬博物學家、《自然史》作者普林尼要贊頌阿基米德是“數學之神”。


    阿基米德也留傳下一部算術著作《沙粒的計算》,這唯一的一部算術著作也可能是他的最后一部著作。這是他為外行人寫的一些“機智的妙語”,充滿了想象力,他把書獻給希羅王的兒子格倫,堪稱世界上最早的科普著作。


    全書只有一個定理,即相當于現今的指數乘法法則。阿基米德先給出了地球、月亮和太陽的大小估計,進而計算出沙粒的數目。不過,如同他事先所說的,這只是一種假設,這些數字與實際出入較大。阿基米德以萬為基礎,建立新的記數法,使得任何大的數都能表示出來。他算出充滿太陽系的沙粒為顆,即使是擴充到整個宇宙,也只能容納顆。


    最后,我們談談阿基米德的數學著作對后世的影響。雖然他的工作很有獨創性,比如計算球的表面積和體積公式,用22/7作為圓周率的近似值,但在古代的影響十分有限。他的工作也沒有被繼承和發揚,沒有人試圖推廣他的旋轉體體積公式,即使在8世紀和9世紀他的著作被譯成阿拉伯文之后。


    隨著文藝復興的到來,包括布魯內萊斯基(佛羅倫薩大教堂的設計者)和達芬奇這樣的巨匠都對阿基米德入迷,前者還有“阿基米德第二”的雅號,但他們看的都是手抄本。1544年,阿基米德的7部希臘文著作在巴塞爾首次印刷,附有拉丁文譯文,它們在當時第一流的數學家和物理學家,包括開普勒和伽利略的著作中有所反映。對17世紀的笛卡爾和費爾馬,更是產生了巨大的影響。不幸的是,他的《方法論》直到20世紀初才被發現。


    05

    羊皮書稿


    1906年,丹麥文獻學家海伯格(Heiberg,1854-1928)在君士坦丁堡發現了阿基米德寄給厄拉托色尼的那篇論著《論力學定理和方法》(以下簡稱《方法論》的羊皮書),此前它被認為已經遺失了,且連阿拉伯文版和拉丁文版也不存在。兩年以后,海伯格再次去君士坦丁堡,經過不懈的努力,終于使185頁的文字重見天日(除去少數完全看不清)


    在這篇論文中,阿基米德解釋了他怎樣通過在想象中比較一個已知面積或體積的圖形和立體,以及一個未知的圖形和立體,從中得到了他要尋求的事實;而一旦知道了事實,那么在數學上證明它就比較容易了。這有點像如今的數論學家,利用想象力和計算機尋找數的規律,再設法證明它;不同的是,這種證明通常很不容易。


    在《方法論》中,阿基米德闡明了平衡法。窮竭法主要用來證明結論,卻不易發現新的結果。阿基米德用平衡法計算物體的面積或體積,也是依據德謨克利特的原子論思想,先把面積或體積分成許多窄的平行條或薄的平行層。進而阿基米德假設把這些薄片掛在杠桿的一端,使它們平衡于容積和重心都已知的一個圖形,而且已知圖形的面(體)積一般都是容易求得的。例如,求球體積時,他把同一個球、圓柱和圓錐放在一起,把球和圓錐的薄片掛在杠桿的一側,而讓圓柱的薄片掛在另一頭,利用力矩和杠桿原理,以及圓柱和圓錐的體積公式,推導出了球體積公式。


    看得出來,除了微積分或無窮數學的思想,阿基米德研究數學的第二個武器是力學和物理學。我們再舉兩個例子,一個是重心。牛頓力學里,假設每個星球都是單個的點,這樣的點叫重心。圓的重心便是圓心,正方形或平行四邊形的重心是對角線的交點。而對于三角形,阿基米德證明了,重心就在任意一條中線距離邊長的的三分之一處。這個結論是《論平面平衡》的命題1。再來看拋物線,這似乎是數學家發明的游戲工具。然而,現代科學卻表明,圍繞著原子核的電子、發射到太空的火箭、投石機彈出的石子,它們的運動軌跡均為圓錐曲線。


    下面我們來講述阿基米德羊皮書的歷史。羊皮書是由羊皮紙(perchment)做成的,得名于它的誕生地,就是前面提到的帕加馬王國(Pargamon)。當年那兒建立了大圖書館和大學,成為希臘散文和修辭的中心,并試圖與亞歷山大競爭文化學術中心地位。


    托勒密王朝為了阻礙這一競爭,嚴禁向帕加馬輸出紙莎草紙,于是帕加馬人在公元前2世紀發明了羊皮紙。羊皮紙由小羊皮或小牛皮制作,經石灰處理,剪去羊毛,再用浮石軟化。這樣的紙兩面光滑,書寫方便,尤其適合鵝毛筆,摺成書本也沒問題。比紙莎草紙更適用,但價格昂貴。從公元前2世紀起,羊皮紙與紙莎草紙同時被使用。公元3到13世紀,歐洲各國普遍使用羊皮紙書寫文件。14世紀起,逐漸被中國的紙取代。


    公元330年,第一個基督教皇帝君士坦丁大帝在博斯布魯斯海峽建造了一座城市,那便是東羅馬帝國的首都君士坦丁堡。他下令抄寫50本《圣經》,稍后批準了一項保護古典文獻的計劃,于是抄錄員成了一份可靠的職業。3個世紀以后,圣索菲亞教堂落成,這座宏偉壯麗的建筑物被認為是圖形和數字的呈現,是兩位小亞細亞建筑師安提繆斯(Anthemius)和伊西多爾(Isidore)設計的。


    此兩人是阿基米德的崇拜者兼論著編輯,同時代的數學家歐多修斯(Eutocius)加以注釋使之更為著名。可以想象,那時的君士坦丁堡擁有各種阿基米德著作。其中9世紀的一位牧首(教皇)佛提烏斯(Photius)通曉希臘古典文獻,他收集編輯出版了自己讀過的所有著作,冠名以叢書,并發明了書評。他還派遣學生西里爾兄弟去斯拉夫人中間傳教,導致他們發明了西里爾字母,至今仍為俄羅斯、烏克蘭、白俄羅斯和巴爾干半島等十多個國家的語言使用。


    9世紀中葉,抄寫的方式從大寫字母改為草書小寫,這樣一來速度加快,且每頁文字內容增多。9世紀下半葉,敘利亞數學家、天文學家塔比特(Thabit ibn Qurra)在巴格達的智慧宮里,將阿基米德的著作從希臘文翻譯成阿拉伯文。在12世紀時,又被意大利人吉拉爾德(Gerard)在托萊多譯成拉丁文。那以后,君士坦丁堡在1204年經歷了一場空前的災難,東征的基督教十字軍洗劫了這座歐洲最富有的城市。


    阿基米德的著作只留下三個羊皮書抄本,分別稱為A、B、C。三個抄本都包含《論平面平衡》,A和B都包含《拋物線求積》,A和C都包含《球體和圓柱體》、《圓的測量》和《論螺線》,B和C都包含《論浮體》;A是《錐形體和橢球體》、《沙粒的計數》的唯一抄本,C是《方法論》和《十四巧板》的唯一抄本。當然,還有著作不在任何抄本之列,有的已經遺失,有的如幾何題集《引理集》,因有阿拉伯文版流傳下來。


    如今,A和B已經不復存在,只有它們的復本和譯本留下來,但它們已經完成了自己的使命,把阿基米德的論著和思想傳遞到了近代。如此說來,海伯格當年發現的抄本C不僅是含有《方法論》和《十四巧板》(此書表明阿基米德已經掌握了組合學)以及希臘文《論浮體》的孤本,也是幸存下來的最古老的阿基米德論著的希臘文手稿。


    這部羊皮書上阿基米德的著作抄于10世紀,后來被人擦掉,大約在13世紀時寫上一大堆東正教的祈禱文和禮拜儀式,作為中世紀的宗教文獻在一座修道院保存下來。舊的字跡隱約可見,海伯格驚喜地發現,那是阿基米德的著作。他的著作雖然不像《幾何原本》那樣渾然一體,但也所言有據、論證嚴密。


    20世紀20年代,一位曾在希臘服役的法國人斯里克斯在游歷土耳其時得到這本羊皮書,把它帶回了巴黎。1947年,他搬到法國南方,把公寓連同羊皮書送給了女兒安妮。最晚在1970年,安妮知道這本書的價值,于是準備私下出售。但是,直到1998年10月29日,紐約克里斯蒂拍賣行的錘音落下,這部羊皮書才以兩百萬美元被一位不愿透露姓名的美國富翁買下,如今收藏在巴爾的摩華爾特藝術博物館。


    經過考古學團隊(含科學史、數學史、藝術史、古籍手稿、化學、數碼成像和X射線成像等方面專家)多年的合作研究,這部遺著終于與大家見面了。阿基米德在書中證明了,拋物線形(被一條與準線平行的直線所截的圖像)與其內接三角形的面積之比為4比3(如圖)。這一點再次證明了畢達哥拉斯學派揭示的整數比例關系無所不在,在《方法論》中,幾乎每個命題都如此神奇。


    06

    英雄挽歌


    公元前212年,中國的皇帝秦始皇下令在咸陽焚書坑儒,460多名儒生慘遭殺害。那一年,敘拉古的阿基米德也走到了生命的盡頭。


    原來,出于商業、交通和殖民利益等的沖突,從公元前264年到前146年,迦太基與羅馬帝國之間發生了三場戰爭,史稱布匿戰爭,因為羅馬人稱迦太基人為腓尼(Peoni),轉為布匿(Punic)。其中尤以第二次布匿戰爭最為慘烈,那是在公元前218年到前201年間,猶如20世紀的第二次世界大戰。迦太基人一度占據了上風,尤其在青年統帥漢尼拔的領導下,在海上完全取得了控制權,他率領的軍隊從陸地越過比利牛斯山和阿爾卑斯山,進入到亞平寧的腹地,最后因羅馬人突襲迦太基本土,回軍馳援而功虧一簣。


    由于敘拉古與迦太基結成同盟,且敘拉古又在羅馬船艦征戰迦太基的途中,不可避免地成為羅馬人攻占的目標。公元前214年,羅馬名將馬塞勒斯(Marcellus)率領大軍圍攻敘拉古。許多史書記載了這場戰爭,最早的是公元前2世紀的希臘政治家、歷史學家波利比奧斯(Polybius)的《通史》。


    書中寫道,馬塞勒斯從海上發起攻擊,敘拉古人依靠阿基米德發明的起重機之類的器械將靠近岸邊的船只抓起來,再狠狠地摔下去。馬塞勒斯用八艘五層的櫓船推進,每兩艘連鎖在一起,可是敘拉古人未等靠近,就用強大的機械把巨石拋出,形同暴雨,羅馬兵死傷無數,只得后退。


    還有一種傳說見于2世紀希臘修辭學家、諷刺作家盧西恩(Lucian)的記載,說阿基米德用一面巨鏡反射陽光來焚燒敵船。這或許是夸大的說法,不過至少可以說明,當時阿基米德已經發現拋物面反射鏡能夠聚焦的性質。后來,羅馬人又采取夜襲的方法,誰知阿基米德早有防備,事先制造了一種叫“蝎子”的弩炮,專門對付近處的敵人,羅馬兵又一次吃了大虧。最后,馬塞勒斯干脆放棄正面圍攻,而采用長期圍困的策略。敘拉古終于因為糧食耗盡陷落,公元前212年,在一個慶祝的節日夜間被羅馬人悄悄攻占,阿基米德也光榮犧牲。


    關于阿基米德之死,最早的說法出自公元前后的歷史學家、《羅馬史》作者李維(Livy),“在兵荒馬亂之中,侵略軍大肆殺戮,阿基米德面對地上的一幅沙圖思考,一個羅馬士兵將他刺死,根本不知道他是誰。”策策斯教誨詩中是這樣描寫的,阿基米德沒有注意到逼近他的人是誰,“喂!站遠一點,別動我的圖。”結果他被殺害了。而傳記作家普魯塔克的說法是,阿基米德要求讓他先找到問題的答案,結果激怒了士兵。有意思的是,這則阿基米德的典故可能是唯一有關純粹數學的。


    據說,阿基米德被殺死后,馬塞留斯非常悲痛,他嚴肅處理了那個士兵,還尋找到阿基米德的親屬,給予撫恤并表達敬意,又給阿基米德立碑,聊表敬仰之請。并讓人在墓碑上刻上球內切于圓柱的圖案,以資紀念。


    值得一提的是,普魯塔克是在《馬塞勒斯傳》寫到這則故事的,他并沒有為阿基米德立傳,也許他認為,那位將軍比阿基米德更重要。結果呢,他本人因為這則有關阿基米德的記載才被人們記憶。一個多世紀以后,古羅馬的政治家、作家西塞羅擔任西西里的稅務官,有意去墓地憑吊,結果無人愿意帶路,他只好自己撥開荊刺尋找到了,只見那球和圓柱的圖案仍歷歷在目。只是我不得而知,在墓碑上刻印圖像或公式的傳統,是否源于阿基米德。


    英國哲學家懷特海曾經說過,“歐洲哲學傳統最可靠的一般特征在于,它是由對柏拉圖的一系列腳注組構成的。”有人借此比喻,“歐洲科學傳統最可靠的一般特征在于,它是由對阿基米德的一系列腳注構成的。”如今阿基米德已被公認為是古代世界最偉大的數學家、科學家。貝爾稱:任何一張列舉有史以來最偉大數學家的名單中,必定會包括阿基米德,另外兩個通常是牛頓和高斯。不過,若拿他們的豐功偉績與其所處的時代來比較,仍應首推阿基米德。甚至于菲爾茲獎章上刻著的也是阿基米德像,這與諾貝爾獎章刻著捐助人的像形成對照。


    1979年,阿基米德的同胞詩人、克里特島出生的埃利蒂斯獲得了諾貝爾文學獎。在一首冠名《英雄挽歌》的長詩中他這樣寫道,“夢的輕煙是如何上升的……/ 這一頃刻將另一頃刻拋棄 / 永恒的太陽就這樣離開了世界”。


    2013年夏天,杭州彩云居


    制版編輯 | Morgan


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