? 秦九韶,道古橋與《數書九章》-深度-知識分子
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  • 秦九韶,道古橋與《數書九章》

    2021/07/06
    導讀
    何為真理?不能坐等答案。中國古代科學史最大的懸案。


    何為真理?不能坐等答案。 
    ——弗朗西斯·培根


    01
    道古新橋


    杭州城內,離開西湖北岸的寶石山不遠,有一條小路叫西溪路。在西溪路的東段,與杭大路的交叉口西側(也在浙江大學西溪校區與玉泉校區之間,靠近西溪校區),有一座石橋,叫道古橋。始建于南宋嘉熙年間(1237-1241),初名西溪橋。南宋咸淳初年《臨安志》有載:“‘西溪橋’,本府試院東,宋代嘉熙年間道古建造”。這個造橋的道古不是別人,正是南宋大數學家秦九韶,道古是他的字。


    道古橋在杭州的位置圖(梁津銘繪)


    秦九韶(1202-1261)祖籍河南范縣,該縣位處魯豫交界處,縣城有數百年設在山東莘縣境內,故他自稱山東魯郡人。秦九韶出生在四川普州(今成渝之間)安岳,并在那里長大。其父中過進士(據筆者了解,家鄉人傳秦家三代進士),曾任巴州(今川東北巴中)地方長官。1219年,巴州發生了一起兵變,促使其離開故鄉,調任首都臨安(杭州),全家住在西溪河畔。原來,1201年,臨安發生了一場著名的大火,燒了三天三夜,燒掉太廟、三省、六部、御史臺等,受災居民達三萬五千多家,部分朝廷命官及家眷便遷居當時屬于郊外的西溪河畔,秦家來臨安后也住那里。


    九韶自幼聰穎好學,興趣廣泛,他的父親來臨安后一度出任工部郎中,后任秘書少監,掌管圖書,其下屬機構設有太史局,這使他有機會博覽群書,學習天文歷法、土木工程和數學、詩詞等。1225年,秦父又被任命為潼川(今四川三臺)知府,該地靠近吐蕃部落,為邊關重地。秦父決定把家眷安置在離開臨安不遠的湖州,只攜帶了心儀的小兒子九韶前往赴任。九韶曾出任擢郪縣(今三臺縣郪江鄉)縣尉,故也有九韶為義兵首的說法,他有領兵打仗的才能。


    宋理宗趙昀,曾接見秦九韶,寵愛奸臣賈似道的貴妃姐姐。


    1232年,秦九韶也考中進士,先后在四川、湖北、安徽、江蘇、江西、廣東等地為官。1236年,元兵攻入四川,嘉陵江流域戰亂頻繁,在故鄉為官的九韶不得不時常參與軍事活動。在《數書九章》序言中,九韶也對這一段生活有所描述。1238年,秦九韶回臨安丁父憂(后移居湖州,繼續為父奔喪),見河上無橋,兩岸人民往來很不便,便親自設計,再通過朋友從府庫得到銀兩資助,在西溪河上造了一座橋。


    橋建好后,原本沒有名字,因橋建在西溪河上,習慣上被叫作“西溪橋”。直到元代初年,另一位大數學家、游歷四方的北方人朱世杰(1249-1314)來到杭州,才倡議將“西溪橋” 更名為“道古橋” ,以紀念造橋人、他所敬仰的前輩數學家秦九韶,并親自將橋名書鐫橋頭。


    網友提供的原道古橋(疑似)


    道古橋一直存在到新千年之交(筆者在附近居住了十九年,歷史上有無重建不得而知),因為西溪路擴建改造,原先的橋和溪流被夷(填)為平地(曾經有過的道古橋居委會也隨之消失),并建起高樓大廈,諸如國際商務中心、浙江省國土資源廳和黃龍世紀雅苑,只留一個公交車站名道古橋(據說還有地圖上未顯示的道古橋路)


    2005年,道古橋附近天目山路(杭州東西主干道)南側西溪支流沿山河上修建了一座人行石橋(在杭大路的馬登橋和黃龍路的沿山河橋之間,離開道古橋原址約百米左右,比原先的長且寬闊)。我曾數度實地勘察,發現此橋跨河而建,兩岸垂柳披掛,風景優美,且鬧中取靜,關鍵是尚未命名,故而引導我突發奇想。


    道古新橋。作者攝于杭州


    02
    數學大略


    1244年,秦九韶任建康府(南京)通判期間,因母喪離任,回浙江湖州守孝三年。正是在這次守孝期間,秦九韶專心研究數學,完成了二十多萬字的巨著《數書九章》(1247年9月),名聲大震加上他在天文歷法方面的豐富知識和成就,曾受皇帝(宋理宗趙昀)召見。他在皇帝面前闡述自己的見解,并呈奏稿和“數術大略”或“數學大略”(即《數書九章》)。可以說,秦九韶是第一個受皇帝接見的中國數學家。幾年以后,河北的數學家李冶也曾三度被忽必烈召見。


    《數書九章》線裝版封面(吳文俊作序)


    《數書九章》分九類十八卷,每類九個問題,應該說全面超越了古典名著《九章算術》。其中,最重要的成果無疑要數第一卷大衍類的“大衍總數術”和第九卷“市易類”的“正負開方術”。“開方正負術”或“秦九韶算法”給出了一般n次代數方程正根的解法,系數可正可負。此類方程求解需要迭代運算,那樣需要反復求取該多項式的值,而每次求值原本需經n(n+1)/2次乘法和n次加法。秦九韶將其轉化為n個一次式的求解,只需n次乘法和n次加法,他并給出了最高10次21個方程的例子。直到19世紀初,這一算法才被英國數學家霍納發現,稱霍納算法,即便在計算機時代的今天,秦九韶(霍納)算法仍有重要的意義。


    “大衍總數術”給出了孫子定理的一般表述。大約在公元四、五世紀成書的《孫子算經》里有所謂的“物不知數”問題。即“今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二,問物幾何?”“答曰二十三”。換句話說,孫子只是給出了一個特殊例子。而在江蘇淮安的民間傳說里,這個故事可溯源到公元前二、三世紀西漢名將韓信點兵的故事。



    話說秦朝末年,楚漢相爭。一次,韓信率兵與楚軍交戰。苦戰一場,漢軍死傷數百,遂整頓兵馬返回大本營。當行至一處山坡,忽報楚軍騎兵追來。只見遠方塵土飛揚,殺聲震天。此時漢軍已十分疲憊,韓信令士兵3人一排,結果多出2名;接著令5人一排,結果多出3名;再令士兵7人一排,又多出2名。韓信當即宣布:我軍1073名勇士,敵人不足五百。果然士氣大振,一舉擊敗了楚軍。


    用現代數學語言來描述“大衍總數術”就是:設有k個兩兩互素的大于1的正整數,其乘積為M,則對任意k個整數,存在唯一不超過M的正整數x,x被各個相除所得余數依次為。秦九韶并給出了求解的過程,為此他發明了“輾轉相除法”(歐幾里得算法)和“求一術”。后者是指,設a和m是互素的正整數,m大于1,可以求得唯一不超過m的正整數x,使得a和x的乘積被m除后余數為1。


    遺憾的是,由于古代中國沒有素數的概念(要到清朝康熙年間才有,叫數根),且當時的用途并非在理論上,而主要用于解決歷法、工程、賦役和軍旅等實際問題,秦九韶對他發現的定理沒有給出嚴格的證明。但對求解型的定理來說,這個并不十分重要。實際上,他還允許模不兩兩互素,并給出了可靠的計算程序將其化為兩兩互素的情形。值得一提的是,大衍求一術和歐拉定理是20世紀密碼學中赫赫有名的“RSA公鑰體系”中的兩個關鍵因素。


    此外,秦九韶還給出了“三斜求積術”,此乃著名的海倫公式(已知三角形的三條邊長求面積)的等價形式。在第二章天時類,秦九韶給出了歷法推算和雨雪量的計算。在南京北極閣氣象博物館里,有古代著名氣象學家的雕像,其中也有秦九韶,雕像的石碑上寫著:他用“平地得雨之數”(即單位面積內得雨)量度雨水,在世界上最早為雨量和雪量測定奠定了科學理論依據。


    03
    享譽歐洲



    1801年,數學王子高斯的名著《算術研究》(第2篇第7節)里,也給出了上述“大衍求一術”,此前瑞士數學家歐拉已作了深入研究,但他們都不知道中國的數學家早已經有這個結果。直到1852年,秦九韶的結果和方法被英國傳教士偉烈亞力(與清代數學家李善蘭合作譯完歐幾里得《幾何原本》)譯介到歐洲,他的論文《中國科學史札記》在歐洲學術界受到廣泛關注,并被迅速從英文轉譯成德文和法文,此文同時也介紹了秦九韶算法。至于何時何人命名了中國剩余定理,仍是個未解之謎,但應不晚于1929年。


    《數書九章》插圖,相傳畫的是湖州飛英塔。


    嚴格來講,孫子定理應稱為秦九韶定理,我在拙作 《數之書》(以及近作《經典數論的現代導引》)中、英文版里也的確這么做了。之所以被命名為孫子定理,應與下文要講的秦九韶的道德疑難有關。而據筆者的先師潘承洞教授分析,西方人之所以稱其為中國剩余定理,是因為古代中國數學家注重計算,缺乏理論建樹,因而是一種輕視。無論如何,她都可以說是中國人發現的最具世界性影響的定理,是中外任何一本基礎數論教科書不可或缺的,同時也被拓廣到另一數學分支——抽象代數里面。此外,還被廣泛應用到密碼學,數值分析里的多項式插值計算,哥德爾不完全性定理的證明,丟番圖方程可解性的判斷(希爾伯特第十問題之否定),以及快速傅里葉變換理論等諸多領域。


    德國著名數學史家莫里茨·康托爾贊揚秦九韶是“最幸運的天才”,這是因為當時西方尚未為這個命題命名。此前法國大數學家拉格朗日也是這樣稱贊牛頓的。拉格朗日認為,發現萬有引力定律只有一次機會。有著“科學史之父”美譽的美國科學史家喬治·薩頓認為,秦九韶是“他那個民族,他那個時代,并且確實也是所有時代最偉大的數學家之一。”2005年,牛津大學出版社出版了《數學史,從美索不達米亞到現代》,該書重點介紹的12位數學家中,秦九韶是唯一的中國人。


    劍橋的數學橋,相傳為牛頓設計。作者攝


    秦九韶造橋的故事,堪與英國數學家牛頓造橋的故事媲美。現今劍橋大學的皇后學院內,流經的劍河上有一座橋叫數學橋,只因傳說原橋設計師是17世紀的數學家牛頓。據稱牛頓造橋時沒用到一根釘子,后來有好事者悄悄把橋拆下來,發現真是這樣,卻再也無法安裝回去,只好在原址重新造了一座橋。時至今日,數學橋早已成為一處名勝,可以說是到訪劍橋旅客的必游之地。


    相比之下,道古橋的故事不僅更為古老
    (比牛頓早四個世紀),且與兩位古代大數學家有關(可惜當年宣傳甚少,甚至杭州多數數學工作者都不知道,道古即秦九韶)。如果得以(重新)命名,酌情在橋頭設立一塊石碑,必將為杭州這座歷史文化名城增添一處不可多得的科學人文景觀(此建議后來被杭州市政府采納,我并請數學家王元先生題寫了橋名)


    04
    道德疑難



    必須要指出的是,由于秦九韶的學術成就未被同代人認識,加上一些不好的傳聞和描述,稱其貪贓枉法、生活無度,甚至犯有人命、非復人類,他在暮年和后世成了一個有爭議的人物。所有宋史和地方志都未為秦九韶列傳,他的名字和橋名時隱時現,后裔也下落不明。不僅中文數論教科書里不出現他的名字,中國校園里也只張貼或雕塑祖沖之的像,甚至英國BBC新近制作播出的四集紀錄片《數學的故事》在夸贊他的學術成就之余(秦是唯一被提及的中國數學家,也是七位東方數學家中鏡頭最多的一位),也渲染其道德污點。


    經筆者多方求證和討教,得知有關秦九韶的傳聞主要有兩個出處,其內容大有互通。比秦九韶年長十五歲的福建詞人劉克莊《后村先生大全集》中的《繳秦九韶知臨江軍奏狀》(1260)在前,比秦九韶小三十歲的湖州文人周密《癸辛雜識·續集》中的《秦九韶》(共兩頁,癸辛是杭州的街名,宋亡后周密留居此地)在后,后者曾被清代(乾隆年間)的《四庫全書》列入“小說家之類”流傳。可以說,劉周兩人都是南宋文學史上有一定影響和地位的人。


    廣東梅州,秦九韶的謝世地。作者攝


    到了嘉慶年間,文理兼備的揚州學派著名學者焦循,浙江巡撫、經學家、教育家阮元,以及晚清湖州學者、藏書家陸心源等人相繼批駁周密,指其造謠誹謗,始有人為秦九韶列傳。而劉克莊生前便趨奉賈似道,被認為諛詞產語,連章累牘,為人所譏。1842年,《數書九章》由歷算名家宋景昌校訂后第一次印刷出版,結束了近六百年的傳抄史。之前,其抄本先后被收入明代的《永樂大典》和《四庫全書》。在傳抄過程中,一度被稱為《數學九章》,后被明末戲劇家王應遴定名為《數書九章》。從這個意義上,《數書九章》堪與荷馬史詩媲美。


    必須指出的,吳潛和賈似道是宋理宗時一忠一奸的宰相,秦九韶和劉克莊分別與兩人過從甚密。吳潛出身狀元,以正直無私、憂國憂民、忠義愛國聞名,還是一代詞人、水利專家和抗倭英雄;賈似道惡貫滿盈,卻是皇帝寵愛的貴妃的同父異母弟弟,人稱蟋蟀宰相。1261年,秦九韶去世那年,年近七旬的吳潛被賈似道羅織罪名,再度被罷免宰相,流放循州(今廣東龍川),與秦九韶的謝世地梅州(今梅縣)相去不遠,且次年便暴病身亡(疑被投毒)


    吳潛是安徽寧國人(一說是湖州德清人),那里與湖州毗鄰,秦九韶在巴州任職時便與之相識,后一同在湖州丁憂母。或許,秦九韶從吳潛贈送的地基上建起的房子有些奢華,引得當地文人周密的嫉妒。特別是,周密是湖州本地人而秦九韶是異鄉人。除了擅長作詞以外,周密還愛好史學、畫帖、醫學,甚至算學。他的《志雅堂雜鈔》也是一本雜書,有趣的是,里頭居然有韓信點兵的描述,他稱之為“鬼谷算”或“隔墻算”。


    秦九韶紀念館,四川安岳。作者攝


    另一方面,秦九韶的駢儷詩詞也頗有造詣,并曾得著名詞人李劉指點,因此也不排除文人相輕的可能性。秦九韶的遭遇無疑是政治斗爭的犧牲品,他生命的最后六年是在梅州度過的。事實上,在金人和蒙古大軍南下時,吳潛和賈似道分屬主戰派和主和派。筆者曾專程前往梅州,只見周圍群山環抱,城內主要街道栽滿了榕樹。我想起造紙術的發明人蔡倫,他和秦九韶在科學、技術上的成就在中國古代無人可以匹敵。蔡倫因為發明造紙術被封侯,晚年卻在寵愛他的皇太后過世后恥于被政敵侮辱,沐浴后穿戴整齊,喝毒藥而死。


    有意思的是,后來曾有無名氏作《長相思》:“去年秋,今年秋,湖上人家樂復憂,西湖依舊流。吳循州,賈循州,十五年前一轉頭,人生放下休。”也就是說,15年以后,賈似道也被貶到當年吳潛遭貶去世的地方,且途中被富有正義感的監押官殺死。到了清代,吳潛的后裔吳魯又考中狀元、光宗耀祖,吳氏家族多居住在福建,其中泉州涂門街的吳氏大宗祠又名東觀西臺。至于秦九韶的最后歲月、下葬地及其后裔,筆者雖曾在梅州努力探訪,仍無從知曉。假如真的如劉周文章所言,他早應被處斬或入獄,如何只是被貶官且仍“治政不輟”?


    值得一提的是,《數書九章》里有一幅著名的插圖,是用來計算圖中的寶塔塔尖高度的,通過觀察角度的調整和正切函數的運用,便可以求得。這座寶塔與湖州城內的唐代古寺飛英寺里的飛英塔造型相似,此塔內是石塔外是磚木塔,因為塔中有塔而別具一格,屬于全國重點文物保護單位。雖然內塔和外塔分別建于唐代和北宋年間,但在12世紀前后遭到拆毀,現在的塔重建于13世紀30年代,剛好在秦九韶寓居湖州之前。


    05
    世界本原


    最后,我想談談秦九韶為《數書九章》這部唯一的著作所作的序詩(每卷一首)和序言。第一卷是大衍類,即最有價值的一次同余式求解理論。他在這卷序詩里寫道,“巍巍昆侖,氣勢磅礴;世界本原,在于數學。”第二卷是關于天文歷法,序詩曰,“七大行星,蒼穹回旋;世間諸事,變化多端。”第三卷是關于土地面積測量,序詩的開頭是,“百姓雖小,當放首位;審時度勢,以觀世界。”


    接下來的幾卷先后涉及測量計算、運輸稅收、糧谷容積、建筑施工、軍需供應、交易利息等。在賦役一卷中他寫道,“當官的要施仁政,為民著想,設身處地,猶如自己挨餓受災。如果賦稅徭役分配不均,難道能讓人心安理得嗎?”因此可以說,這部著作不只談論數學,還涉及自然現象和社會生活,成為后人了解當時社會政治和經濟生活的重要參考文獻。


    秦九韶紀念館,四川安岳。作者攝


    在“錢谷”一卷,序詩更是針砭時弊,有理有據。“納糧上稅,要看等級,糧食入庫,要看時節。一粒粒粟,一寸寸絲, 都是男女勞動所得。”“達官貴人相互攀緣,欺榨百姓,大小貪官,用盡心機。”“治理財政,理當猶如智者治水。正本清源,有條不亂,治標治本,消除隱患。”“那些昏官視而不見,人民悲慘,用刑不斷。離開理智愈來愈遠,為官不仁!可嘆可嘆!”


    在序言的開頭,秦九韶便提到,周朝數學屬于“六藝”(禮、樂、射、御、書、數)之一。學者和官員們歷來重視、崇尚數學。人們因為要認識世界的規律,產生了數學。從大的方面說,數學可以認識自然,理解人生;從小的方面說,數學可以經營事務,分類萬物。秦九韶堅信,世間萬物都與數學相關,這與古希臘的畢達哥拉斯學派不謀而合。


    蔡天新在南京北極閣氣象博物館秦九韶塑像旁


    這也正是數學吸引秦九韶的地方,他向學者、能人求教,深入探索數學之精微。“我在青少年時代曾隨父親到過都城臨安,有機會訪問國家天文臺的歷算家,向他們學習歷算。此外,我還從隱君子那里學習數學。”這里的隱君子并非指吸毒(煙)成癮的人,而是指隱居逃避塵世的人。其時,元軍入侵四川,九韶有時卻不得不在戰亂中長途跋涉,可是他仍不忘鉆研數學。


    與此同時,秦九韶也感嘆,數學家的地位和作用,而今不被人們所認識,這里他主要指的是純粹數學和暫時無法用到的方法技巧。他認為,數學這門學問遭到鄙視,算學家只被當作工具使用,這就猶如制造樂器的人,僅僅撥弄出樂器的聲音。“原本我想要把數學提升到哲理(道)的高度,只是實在太難做到了。”由此我們可以推斷,這是一位有思想有品味的人,與傳言中的秦九韶實難相符。時光流逝了七個多世紀,秦九韶的道德污點也成為古代中國科學史上最大的疑案。


    2012年5月,杭州

     

     作者簡介 

    蔡天新

    浙江大學數學學院教授、博士生導師、求是特聘學者,近作有《小回憶》增訂版、《26城記》、《數學與藝術》、《經典數論的現代導引》(中、英文版)、《完美數與契波那契序列》(即出),主編《地鐵之詩》、《高鐵之詩》。



    制版編輯 | Morgan


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