? 歐幾里得《原本》與亞里士多德《詩學》-深度-知識分子
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  • 歐幾里得《原本》與亞里士多德《詩學》

    2021/08/05
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    從本質上講,這兩部著作都是對三維空間的模仿。
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    浙江大學數學學院蔡天新教授新近出版了《數學與藝術》(江蘇人民出版社,2021.7),此書入選了《光明日報》“光明書榜”,《解放日報》記者予以采訪報道,《中華讀書報》整版摘登,《中國科學報》也將推介……《賽先生》特邀作者從“希臘數學與希臘藝術”一章中摘錄一節,以饗讀者。本文略有修訂


    撰文 | 蔡天新


    亞里士多德的《詩學》和歐幾里得的《(幾何)原本》分別是古典時代文藝理論和自然科學的最高理論結晶,各自影響了后世2000多年。亞里士多德和歐幾里得都是柏拉圖學園的學生,雖然他們兩人并不認識,甚至可能不屬于同一個時代。而從本質上講,他們的著作都是對三維空間的模仿,只不過前者是對形象空間的模仿,后者是對抽象世界的模仿。

    王若男繪


    01

    柏拉圖學園


    公元前500年,畢達哥拉斯在塔蘭托附近的梅塔蓬圖姆(Metapontum)遇害。第二年,世界歷史上第一次歐亞大陸之間的大規模戰爭——波希戰爭爆發了。這場戰爭的起因是,強大的波斯阿契美尼德王朝為擴張版圖入侵希臘。不料戰爭持續了將近半個世紀。


    結果恰好相反,在經歷了馬拉松戰役、溫泉關戰役和薩拉米灣海戰之后,希臘城邦國家和制度得以幸存下來,而波斯帝國卻從此一蹶不振。這場戰爭是人類歷史上前所未有的文化大融合,其影響力遠遠超出波斯和希臘兩國,促進了東西方文明的交流和發展,推動了科學、藝術和人類社會的發展進步。希臘文明得以保存并發揚光大,成為日后西方文明的基礎。


    波希戰爭結束那年,蘇格拉底(Socrates,前470-前399)剛年滿20歲,雅典正處于伯利克里(Pericles,前495-前429)的黃金時代。蘇格拉底出身貧寒,父親是雕刻師,母親是助產士,他自己也做過雕刻師和石匠,據說曾參與雅典衛城的建造。蘇格拉底有著扁平的鼻子、厚厚的嘴唇,眼睛凸出,身材矮小。雖說容貌平凡,但他言語樸實,頭腦里有著神圣的思想。那會兒智者從全國各地云集雅典,給民主制度帶來許多新知和自由論辯的新風尚,蘇格拉底向諸位智者學習,也受到奧爾菲秘教和畢達哥拉斯學派的影響。


    蘇格拉底青少年時代很好學,后來熟讀荷馬史詩,靠自學成為一名很有學問的人。他一生過著艱苦的生活,無論嚴寒酷暑,都穿一件普通的單衣,經常不穿鞋,吃喝更不講究。蘇格拉底對學問專心致志,并以傳授知識為生,不設館也不取報酬,生平事例,思想成就,任由弟子記錄,其中最出色的兩位弟子是柏拉圖和色諾芬。蘇格拉底的學說帶有神秘主義,他反對研究自然界,認為那是褻瀆神靈的。他喜歡提出異議,愛諷刺人,其主要武器是反駁論證,也叫反詰,借此指出別人觀點中潛在的混亂和荒謬,被后人稱為蘇格拉底方法。


    公元前429年,伯利克里在再度當選為首席將軍之后,被瘟疫奪去了生命,雅典盛極而衰。此時的蘇格拉底已成為遠近聞名的人物,許多有錢人家和窮人家的孩子聚集在他周圍,向他討教。蘇格拉底卻常常說,“我只知道自己一無所知。”“只有神才是智慧的。”他以自己的無知而自豪,并認為人人都應承認自己的無知。然而,公元前399年,蘇格拉底卻被控犯有“瀆神”罪,被處以傳統的極刑——飲鴆。他的罪名是:腐蝕青年,藐視城邦崇拜的諸神以及從事稀奇古怪的宗教活動。


    由于蘇格拉底以不屑一顧的態度對待這種指控,同時又作了相當于承認確有其事的“辯護”,因此(或許是)以280票對220票被法庭判有罪。當時如果蘇格拉底同意支付一筆數目不必太大的罰金,是可以不被判處死刑的。然后他卻采取強硬立場,說自己其實是社會的大恩人,應該作為杰出人士享受國家供養的待遇。結果這個說法激怒了法庭,死刑判決被更多票數通過了。接下來的一個多月,每天有朋友來獄中看他,有的設法幫他越獄,但被他拒絕。最后他選擇飲下毒堇汁,緩慢而痛苦地死去。


    蘇格拉底之死,尤其是臨死前表現出來的大無畏氣概,給予弟子柏拉圖深深的刺激。雖然他出身顯赫,卻放棄了從政的想法,終其一生投入哲學研究,他稱導師蘇格拉底是“所見到的最智慧、最公正、最杰出的人物”。蘇格拉底死后,而立之年的柏拉圖離開了雅典,開始了漫長的游歷,先后造訪了小亞細亞、埃及、昔蘭尼(今利比亞)、南意大利和西西里等地。大約在那個時候,柏拉圖開始寫作對話錄,多數以蘇格拉底為中心人物,其他人物也大多是真實存在的。但他的寫作究竟是在蘇格拉底去世之前還是之后開始的,已無法確定。


    柏拉圖頭像,現藏于羅馬卡比托利尼博物館


    正是在旅途中,柏拉圖接觸了多位數學家,包括西西里島上畢達哥拉斯學派的一位傳人,并親自鉆研了數學。返回雅典之后,柏拉圖與人合作,在城東北創辦了一所頗似現代私立大學的學園(Academy,這個詞是為紀念一位戰斗英雄,如今的意思是科學院或高等學府)。學園里有教室、飯廳、禮堂、花園和宿舍,柏拉圖自任園(校)長,他和他的助手們講授各門課程。除了兩次應邀重返西西里講學以外,他在學園里度過了生命的后40年,而學園本身則奇跡般地存在了九百年,猶如傳說中的畢達哥拉斯學派。


    作為哲學家,柏拉圖對歐洲的哲學乃至整個文化、社會的發展有著深遠的影響。他一生共撰寫了36本著作,大部分用對話的形式寫成。內容主要關于政治和道德問題,也有的涉及形而上學和神學。例如,在《國家篇》里他提出,所有的人,不論男女,都應該有機會展示才能,進入管理機構。在《會飲篇》里這位終生未娶的智者也談到了愛欲,“愛欲是從靈魂出發,達到渴求的善,對象是永恒的美。”用最通俗的話講就是,愛一個美人,實際上是通過美人的身體和后嗣,求得生命的不朽。


    雖然柏拉圖本人并沒有在數學研究方面作出特別突出的貢獻(有人將分析法①和歸謬法②歸功于他),但他的學園卻是那個時代希臘數學活動的中心,大多數重要的數學成就均由他的弟子取得。例如,一般整數的平方根或高次方根的無理性研究(包括由無理數的發現導致的第一次數學危機的產生和解決),正八面體和正二十面體的構造,圓錐曲線和窮竭法的發明(前者的發明是為了解決倍立方體問題③),等等。

     

    對數學哲學的探究,也起始于柏拉圖。在他看來,數學研究的對象應該是理念世界中永恒不變的關系,而不是感覺的物質世界的變化無常。他不僅把數學概念和現實中相應的實體區分開來,也把它和在討論中用以代表它們的幾何圖形嚴格區分。舉例來說,三角形的理念是惟一的,但存在許多三角形,也存在相應于這些三角形的各種不完善的摹本,即具有各種三角形形狀的現實物體。這樣一來,就把起始于畢達哥拉斯的對數學概念的抽象化定義又向前推進了一步。


    在柏拉圖的所有著作中,最有影響的無疑要數《理想國》了。這部書由10篇對話組成,核心部分勾勒出形而上學和科學的哲學。其中第6篇談及數學假設和證明。他寫到,“研究幾何、算術這類學問的人,首先要假定奇數、偶數、三種類型的角以及諸如此類的東西是已知的。……從已知的假設出發,以前后一致的方式向下推,直至得到所要的結論。”由此可見,演繹推理在學園里已經盛行。柏拉圖還嚴格把數學作圖工具限制為直尺和圓規,這對于后來歐幾里得幾何公理體系的形成有著重要的促進作用。


    被稱為柏拉圖多面體的5種正多面體


    談到幾何學,我們都知道那是柏拉圖極力推崇的學問,是他構想的要花費10年學習的精密科學的重要組成部分。柏拉圖認為創造世界的上帝是一個“偉大的幾何學家”,他本人對(僅有的)五種正多面體的特征和作圖有過系統的闡述,以至于它們被后人稱為“柏拉圖體”(插圖)。從公元6世紀以來廣為流傳的一則故事說,在柏拉圖學園門口刻著,“不懂幾何學的人請勿入內”。無論如何,柏拉圖充分意識到了數學對探求人類理想的重要性,在他的遺著《法律篇》中,他甚至把那些無視這種重要性的人形容為“豬一般”。


    遺憾的是,柏拉圖一方面稱贊“上帝是位幾何學家”,另一方面又要把詩人逐出“理想國”。他曾歷數藝術家的兩大罪狀,“藝術不真實,不能給人真理;藝術傷風敗俗,惑亂人心。”但柏拉圖并非反對詩歌,他在《國家篇》里寫道:“消遣的、悅耳的詩歌能夠證明它在一個管理良好的城邦里有存在的理由,那么我們非常樂意接納它,因為我們自己也能感受到它的迷人。但是要背棄我們相信是真理的東西而去執迷于詩歌,這總是不虔誠的,因為詩歌和詩人干擾了我們寧靜的靈魂和對世界的理性判斷。”換句話說,柏拉圖是從理性出發,站在政府的立場上。


    柏拉圖學園培養了無數杰出的學生,包括全才的亞里士多德。而在數學領域,就有立體幾何的創始人泰阿泰德(他也是柏拉圖學園的聯合創始人),比例理論的建立者歐多克索斯(他提出數和量是兩個不同的概念,前者僅限于有理數,他還最早建立了宇宙的幾何模型),圓錐曲線的發現者美涅克漠(Menaechmus,歐多克索斯的學生)。甚至連大數學家歐幾里得早年也來阿卡德米攻讀,這一切使得柏拉圖及其學園贏得“數學家的締造者”美名。這里我想先介紹一下歐多克索斯。


    古代雅典地圖,柏拉圖學園在北郊


    歐多克索斯(Eudoxus,約前400-約前347)出生在小亞細亞的尼多斯(Cnidus),年輕時做過一位醫生的助理。公元前368年,歐多克索斯陪同醫生來到雅典,在那里學習了兩個月,他住在外港比雷埃夫斯,期間他幾乎每天都步行數十公里去雅典的柏拉圖學園聽課,學習數學、天文學和哲學,同時與柏拉圖建立了私人友誼。多年以后,歐多克索斯在馬爾馬拉海南岸建立了自己的學園,最后率領部分學生搬遷到了雅典,很可能是加入了柏拉圖學園。


    02

    亞里士多德與《詩學》


    眾所周知,柏拉圖學園里最杰出的學生,并非上節最后提到了四位數學家,而是全才的亞里士多德(Aristotle,前384-前322)。亞里士多德出生在希臘北部哈爾基季基半島小城斯塔基拉(Stagira)。他的父親是馬其頓國王阿敏塔斯三世的御醫,阿敏塔斯三世是腓力二世的父親,亞歷山大大帝的祖父。作為醫生的兒子,亞里士多德幼時便接觸到“醫學之父”希波克拉底(Hippocrates,前460-前377)的著作《時疫》,使他懂得醫學和生物學的概念和實踐,以至于后來他的哲學思想里帶有明顯的生物學傾向。


    亞里士多德頭像


    亞里士多德年少時,父親便去世了,他被委托給一位親戚監護。17歲那年,亞里士多德被送進雅典的柏拉圖學園,在那里一待就是20年。他在柏拉圖和其他導師的教導下學習活力充足,思想活躍,對修辭和辯論頗有心得。公元前367年,柏拉圖在參加一次婚宴時忽感不適,隨后退到一個角落里,安靜地去世。學園由柏拉圖的侄子繼承,亞里士多德離開了雅典,像他的老師一樣開始了漫游。至于他離開的原因,或許是因為未能掌管學園,與新任園長哲學觀念不同,也可能是因為他的馬其頓背景。


    亞里士多德與他的同窗兼好友色諾克拉底結伴,他們先到小亞細亞西北岸的港市阿蘇斯(Assus),在那里開始研究解剖學,并著手《政治學》的撰寫。師兄弟倆的性格有別,亞里士多德生性活躍,色諾克拉底沉默寡言,為此當年曾被老師柏拉圖比喻為“一個需要馬刺,另一個需要籠頭……”不過,當他們在阿蘇斯的新學校共事時,兩人的不同個性卻成就了天作之合。贊助人是一位富有的軍人,他當年參觀柏拉圖學園時便有志于在小亞細亞也創建一所,把希臘制度和希臘哲學擴展到亞洲大地。


    在阿蘇斯,亞里士多德娶了贊助人的侄女皮西亞斯,他們生了一個女兒。《政治學》是西方政治學研究的開山之作,依據他和學生對希臘諸城邦政治法律制度的調查寫成,其核心內容是城邦問題,以“人是天生的政治動物”為前提,分析了城邦的形成和基礎,以及公民的教育等,提出了理想城邦的設想。書中也描繪了他心目中的理想婚姻,丈夫37歲,妻子18歲。作者時年37歲,故而人們猜測皮西亞斯當時是18歲。亞里士多德曾表示希望兩人死后合葬一處,可惜妻子去世太早,后來他又找了一個伴侶(無法確定妻子還是情人),她為他生了一個兒子。


    亞里士多德在阿蘇斯待了三年以后,來到一水之隔的萊斯沃斯島,那是希臘第一個女詩人薩福的故鄉,后者如今已成為女同性戀的代名詞。亞里士多德在首府米蒂利尼與一位朋友合辦了一所學校,在那里他的興趣轉向生物學,并進行了開拓性的研究。他強調觀察對于生物學的重要性,“理論必須被觀察到的事物所確認,才能享受到真正的榮譽”。柏拉圖認為,靈魂是一種獨立存在的實體,暫時寓居于肉體之中;而亞里士多德則認為,靈魂是一種生命力,本質上與肉體一道構成個人。


    公元前343年和前342年之交,42歲的亞里士多德應腓力二世之邀,到馬其頓首都培拉,擔任13歲的亞歷山大的家庭教師。他試圖依照荷馬史詩中的英雄形象來培養王子,而后者后來也的確成為人類歷史上最偉大的君王和軍事家之一,但據說兩人的關系并不融洽。亞里士多德認為希臘人高于一切,教導弟子應禁止臣民與外邦人通婚,但他卻娶一位波斯貴族女子為妻,甚至以叛國罪處死了亞里士多德的侄子。不過亞歷山大后來也送給老師一個禮物,重建了他那被父王摧毀的故鄉斯塔基拉。


    公元前335年,年近半百的亞里士多德從斯塔基拉回到雅典,其時柏拉圖學園在色諾克拉提的掌管下正處盛期,他在郊外的森林里創辦了自己的學校——呂園,以神話中的殺狼者呂刻俄斯(Lyceum)命名。亞里士多德不拘禮節,常與弟子們一邊散步,一邊教學,因此被稱為逍遙派,呂園也成為一所集教學與研究為一體的學校。12年以后,亞歷山大大帝死于征戰途中,雅典出現了短暫而激烈的反馬其頓浪潮,亞里士多德深感自己處于危險之中,便離開了雅典,去到母親的故鄉、雅典北面的埃維亞島首府哈爾基斯。第二年,亞里士多德因為胃病,在島上去世。


    與阿卡德米一樣,呂園也是通過爭論和討論來教育學生,并不要求他們盲目接受老師的觀點。亞里士多德的文風簡潔明快,富有個性,他的思想可以概括為:經驗是知識的來源,邏輯是其結構。公元前1世紀的羅馬作家西塞羅在《學園派》里寫道,“亞里士多德溫和的風格宛如一條金色的河流”。他的著作甚豐,古代后期尚有數百卷留存,而古代書目所列他的獨立著作多達170種。即便在今天,仍幸存30多部,約2000多張印刷頁。亞里士多德在《論哲學》里提到文明發展的五個階段,分別是:生產生活必需品,創造藝術,政治的藝術,美化生活,從自然到神的哲學。


    一般來說,亞里士多德的著作分為兩類。一類是生前發表,有些后來佚失的;另一類是未經本人發表,或者根本不打算發表的,而經過他人搜集并保存下來的。《詩學》可能屬于后者,成書于他游學結束返回雅典之后,可謂是他成熟期的著作。現存的文本是他在呂園的講義或其門生的筆記,論證嚴密但較為晦澀,可能未經整理加工,容易引發不同的解釋。《詩學》共分兩卷,可惜第二卷失傳了。第一卷中曾說到后面還要討論喜劇,可能就在第二卷。無論如何,《詩學》則是亞里士多德美學思想的結晶,是西方美學的開山之作。


    10世紀《詩學》的阿拉伯文譯稿


    據說《詩學》與亞里士多德的其他著作曾在地窖里沉睡了一百多年,后來經過逍遙派哲學家安德羅尼卡(Andronicus of Rhodios,活動時期公元前1世紀)的整理、校訂之后,才得以流傳。6世紀時《詩學》被譯成敘利亞語,10世紀時被譯成阿拉伯語,現存最早的版本是11世紀拜占庭人的手抄本。文藝復興之初,《詩學》從阿拉伯語轉譯成拉丁語。從15世紀后期以來,《詩學》對歐洲文學和美學思想的影響越來越盛,古典主義文學和美學將其奉為圭皋。即便是現當代藝術和美學理論的構建,也離不開對《詩學》的研究,人們從不同角度和方式從中汲取思想養料。


    現存《詩學》共二十六章,內容大體可分三部分:一至五章,論述藝術的本性是摹仿,依次區分不同的藝術形式,追溯藝術的起源和歷史發展;六至二十四章及二十六章,論述悲劇的特征及構成要素,同時比較了史詩和悲劇;二十五章,批評與反駁的原則、方法。全書主要論述了三個藝術哲學問題,即藝術的本性、悲劇的意義和藝術的作用,其美學思想也可依此歸結為三點:摹仿說、悲劇論和凈化說。這其中,作者認為最本質的是摹仿說。


    亞里士多德開宗明義指出,藝術的本性就是摹仿。他認為:史詩、悲劇、喜劇、酒神頌以及其它各種藝術,“均為摹仿……摹仿人的性格、情感和活動”。但亞里士多德所說的“摹仿”,并不等同于我們通常理解的臨摹、仿效,它還有技藝摹仿自然的寬泛含義。《詩學》中的“詩”是指創制技藝(藝術創作),它表現的是人和人的生活。事實上,希臘藝術原本就是以和諧、莊重、恬靜等為特征,藝術地再現生活。


    在亞里士多德之前,希臘的哲人們已有論及“摹仿”,但賦予不同的意義。畢達哥拉斯認為美是對數的摹仿;赫拉克利特主張藝術摹仿自然的和諧;蘇格拉底說繪畫、雕像之類的藝術不僅摹仿美的形象,且可以借形象摹仿人的情感、個性。柏拉圖在《國家篇》中,詳細論述了詩是摹仿。他認為,木匠摹仿床的“形式”制作木床,畫家畫的床又只是摹仿木床的影象,不是真實的存在。藝術遠離理念與理性,不僅無補于城邦治理和公民道德,且會悖逆真與善,造成理性和情欲的沖突。也正因為如此,柏拉圖主張把詩人逐出理想國。


    亞里士多德的哲學思想不同于他的老師,他對藝術的“摹仿”本性也有迥然相異的理解。在他看來,現實事物包括人的活動,就是真實存在,具有多樣意義;詩摹仿人的活動,在作品中創制出藝術真實的存在;“摹仿”不只是表現外在形象,更是表現人的本性和活動,顯示人的這種“存在”意義。而且,“摹仿”是求知活動,以形象方式獲取真理,形成關于人的創制知識;藝術的“摹仿”并非只受感覺和欲望驅使,它憑借“實踐智慧”洞察人生,把握生活的真諦。因此,摹仿的藝術是高尚的知識活動。


    亞里士多德的摹仿說可以概括為以下三個方面。其一,一切藝術產生于摹仿。其二,摹仿是人的本性,藝術在實現人的本性中進化和完善。他認為,人天生有摹仿的稟賦;人有對美的事物天生的美感能力。在他看來,從孩提時候起我們就有摹仿的本能;人是最富有摹仿能力的動物,人類通過摹仿獲取最初的經驗和知識;摹仿實質上是一種求知能力,正是由于這一點,把人與其他動物區別開來。


    其三,摹仿應表現必然性、或然性和類型。亞里士多德認為,詩人的職責不是記錄已發生的事,而是描述出于必然性、或然性而可能發生的事,某種特殊的人和事。歷史和詩的區別不只在于是否用韻文寫作,希羅多德的《歷史》若改寫為韻文,依然是歷史著作。他分析詩與歷史的區別:歷史敘述已經發生的事實,詩則描述出于必然、或然,在過去、現在、將來都有可能發生的事;歷史只記錄個別事件和人,詩則在可能的事件和人中顯示“普遍的本性”,因而比歷史“更富哲理,更為嚴肅”。


    人民文學出版社出版的《詩學》和《詩藝》。


    《詩學》是歐洲美學史上第一篇也是最重要的文獻,亞里士多德率先用科學的觀點和方法闡明美學概念、研究文藝問題。遺憾的是,在現存的26章《詩學》中,亞里士多德主要討論的是史詩和悲劇,并沒有涉及造型藝術,甚至也沒有談到抒情詩。大概因為抒情詩沒有布局,古希臘人認為它屬于音樂。可是,古希臘人在雕刻和建筑方面,留下了為數不多但卻精美絕倫的作品,盡管有些只是殘存或摹制品。


    米隆(Myron,活動時期約公元前480-前440)是古希臘雕塑家,他的青銅作品《擲鐵餅者》(約公元前450)原件已遺失,現在我們看到的羅馬時期的大理石摹制品。與米隆同時代的菲狄亞斯(Phidias,活動時期約前490-前430)是大雕塑家,只可惜雅典巴特農神廟里他的杰作《命運三女神》殘肢斷軀,連腦袋都沒有了。巴黎羅浮宮里的《維納斯》只缺了雙臂,是約公元前150年的大理石作品,但那時已是希臘藝術衰落期,故而有藝術史家認為它是公元前4世紀的作品的仿制。《維納斯》是1820年在愛琴海的米洛斯島由一位農夫發現的,人體動態與舒卷自然的衣褶相宜,有著絕代的風韻,幾經周折才被法國人收購占有。


    最接近完整的雕刻是《拉奧孔》,那是公元前1世紀羅德島雕塑家阿格桑德羅斯(Agesandros)父子的作品,取材于荷馬史詩中特洛伊戰爭的故事。拉奧孔是特洛伊祭司,他看出了木馬計,告誡同胞別把木馬拖進城(里面藏著雅典士兵)。雅典保護神雅典娜為懲罰拉奧孔“泄露天機”,放出兩條巨蟒纏死了他和一對孿生兒子。雕塑表現的就是這一觸目驚心的場面,反映了神對大眾的威懾力,包含“說真話的人沒有好下場”這樣一種對社會的憤懣情緒。1506年,該群雕在羅馬提圖斯浴場遺址被發現,被教皇尤里烏斯二世收購,現藏梵蒂岡博物館。由于發現得早,對文藝復興時期的藝術有巨大的影響。米開朗琪羅稱贊:真是不可思議。德國美學家萊辛(Gothold  Lessing,1729-1781)據此寫下同名著作,為歐洲最重要的美學文獻之一。


    建筑方面,大約在公元前6世紀,古希臘的柱子經歷了石化(petrification)的過程,由木材、泥磚或黏土改為石柱。因此有部分建筑保存下來,最負盛名的無疑是雅典衛城的巴特農神廟。按照公元前1世紀羅馬建筑師維特魯威《建筑十書》的記載,它是由公元前5世紀的建筑師伊克蒂諾(Ictinos)和卡利克拉特(Callicarats)設計的。與那個時代其他建筑一樣,巴特農神廟采用了黃金分割比,即側面寬和高之比為0.618:1。同時柱式博采各城邦的特長,例如東部小亞細亞沿海的愛奧尼亞式,富有柔和、活潑的女性之美;南方半島的多利克式,富有強音、堅實的男性之美;柯林斯式則更纖細、富有裝飾性。保存得最完整的當數稍早的雅典忒休斯神廟,只因為它在中世紀時被改做基督教堂。


    最后,我們想談談亞里士多德和柏拉圖對私有財產的不同看法。歷史上,財產的概念經常變化,早期一般只涉及土地和奴隸,后來擴大到專利和版權等無形資產,以及任何被認為是生活和自由所必需的東西。柏拉圖受斯巴達人的啟發,反對各種各樣的私有財產,他認為私有財產腐蝕人的靈魂,助長貪婪、嫉妒和暴力。亞里士多德的觀點恰好相反,他認為共同財產的擁有者之間更容易爭斗,而私有制對人類進步至關重要,因為人們會受到激勵努力工作,從而成為有道德的人。波蘭出生的美國歷史學家派普斯(Richard Pipes,1923-)直言:“人類必須擁有,才能生存。”


    說到私有財產,它與當今炙手可熱的比特幣有關。在互聯網時代,人們渴望把個人財產數字化,這需要解決兩個問題。一是稀缺性,數字產品謹防被復制和重新分配。二是可轉讓性,只有這樣才能交易資產,否則所有權會喪失權力。這兩點也是金錢的屬性,一旦解決,數字產品會成為新的錢幣形式。比特幣剛好滿足這兩點,首先它通過軟件加固共識規則并加以保護,形成數字稀缺;其次可轉讓性可由公鑰密碼學來保障,也就是不可偽造的數字簽名。最著名的公鑰密碼是RSA(麻省理工學院的三位教授姓氏)體系,它是利用數論中的歐拉定理和南宋數學家秦九韶(1202-1261)的大衍求一術構造的,后者是說:若整數a和m互素,則同余式ax≡1(mod m)存在唯一解。


    03

    歐幾里得與《原本》


    如果說,亞里士多德的《詩學》認定藝術的本性是摹仿,是對人類生活的三維空間的形象仿制。那么,我們完全可以這么說,比他稍晚的歐幾里得的《原本》是對同一個三維空間的抽象仿制。有關數學家歐幾里得,無人知道他確切的生卒年,他出生、長大和去世、安葬的地方,他以一部《原本》揚名后世。在19世紀以前,歐幾里得是幾何學的代名詞,有一個流行的說法,《原本》的總印數僅次于《圣經》,歐幾里得也被視為所有純粹數學家中對世界歷史的進程最有影響力的一位。


    19世紀的歐幾里得塑像。現藏于牛津大學博物館

     

    現在我們知道,大約在公元前300年前后,歐幾里得作為數學家,活躍于地中海邊古希臘的文化和科教中心亞歷山大,其時為托勒密王朝的都城,如今的埃及第二大城市。這表明,歐幾里得生活的年代,比亞里士多德晚,但比另一位大數學家阿基米德早。主要依據是兩部著作,一部是柏拉圖學園晚期的導師普羅克洛斯的《幾何學發展概要》(約450年,簡稱《概要》),這是他為《原本》寫的注釋。另一本是4世紀數學家帕波斯的《數學匯編》(簡稱《匯編》)


    《概要》中指出,歐幾里得是托勒密一世(Ptolemy I,約公元前367-前282,前323-前285在位)時代的人,早年求學于雅典,深諳柏拉圖的學說。他的《原本》引用了歐多克索斯等多位柏拉圖學派人物的成果,他本人也是柏拉圖學派的成員。書中還有提及,阿基米德的著作也引用過《原本》里的命題。《原本》建立了公設和公理,這一點明顯受到亞里士多德邏輯思想的影響。《匯編》中則記載,圓錐曲線的集大成者阿波羅尼奧斯(Apollonius of Perga,約公元前262~190年)曾長期居住在亞歷山大,與歐幾里得的學生們相熟。


    《概要》記述了一則軼事:國王托勒密問歐幾里得,除了《原本》以外,還有無其他學習幾何的捷徑,歐幾里得回答:“幾何學中沒有王者之路。”這句話后來被推廣為“求知無坦途”。5世紀的編者斯托比亞斯也記載了歐幾里得的一則軼事:當有一個新來的學生問,學習幾何學將來能得到什么時,歐幾里得沒有正面回答,而是讓奴仆給了他一個便士,然后說,“因為他總想著從學習中撈到好處”。由此可見,歐幾里得要求學生循序漸進,反對投機取巧和功力的實用主義。


    歐幾里得的《原本》是一部劃時代的著作,從它誕生的年代流傳至今,對人類文明的進步有著持續的重大影響。《原本》的歷史意義在于它是一部用公理方法建立起來的邏輯演繹的第一個典范,之前所累積的數學知識是片段零碎的,好比磚瓦和木石,歐幾里得借助邏輯方法,把這些知識整理組合起來,使之處于一個嚴密的系統之中,建成了一座巍峨的大廈。可以這么說,歐幾里得是數學領域最杰出的建筑師。


    從泰勒斯到歐幾里得,希臘數學經歷了三個世紀的發展歷史。從愛奧尼亞學派開啟幾何論證到畢達哥拉斯學派從具體的事物中提煉出抽象的數,為《原本》的誕生提供了材料和基石。波希戰爭以后,雅典成為文化中心,那里的智人學派提出幾何作圖的三大問題、用直尺和圓規的規則,成為歐氏幾何的金科玉律。安蒂豐的“窮竭法”,嘗試解決“化圓為方”問題,孕育了近代極限論思想。而德謨克利特用原子法推導出:錐體體積是同底等高柱體的三分之一,則成為《原本》重要的計算方法。


    值得一提的是,在歐幾里得之前約一個世紀,希波克拉底(Hippocrates of Chios,活動時期約前460)就曾寫過一部幾何原理的著作,它可能是《原本》的雛形,可惜沒有流傳下來。這個希波克拉底比同名的“醫學之父”略早,出生在小亞細亞海岸的希俄斯島,該島位于薩摩斯島的西北。傳說他是個商人,因為貨物被海盜搶劫,到雅典去控告,沒能收回自己的財物。結果他留在雅典,聽數學演講,最后竟然能依靠教授幾何為生。而亞里士多德有不同的說法,認為他是被拜占庭的稅務官給騙了。希波克拉底發現并利用泰勒斯定理和畢達哥拉斯定理證明了“月牙定理”:半圓上的直角三角形,兩條直角邊形成的弓形(lune AC和lune CB)的面積之和等于三角形面積。


    月牙定理的證明


    對《原本》影響最大的,要數柏拉圖學派。柏拉圖非常重視數學,特別強調終極實在的抽象本性和數學對于訓練哲學思維的重要性,他的弟子歐多克索斯用公理法建立比例理論,《原本》第5卷大多取自他的工作。歐多克索斯還把安蒂豐的窮竭法加以改進,首次用于數學證明,使之成為《原本》的重要論證方法。而亞里士多德創立的形式邏輯,則為歐氏幾何的嚴密體系創造了必要條件。值得一提的是,我國魏晉時代的數學家劉徽創立的“割圓術”也是一種窮竭法,只不過安蒂豐始于正方形,而劉徽則是從正六邊形開始的。


    當然,《原本》也有著時代的局限性。例如,早在公元前5世紀,意大利南部伊利亞學派的芝諾(Zero of Elea,約前490-約前425,伯利克里是他的學生)便提出了多個著名的悖論,其證明用到了歸謬法,迫使那時和后來的數學家、哲學家開始思考無窮問題。這一點《原本》中有所體現,但多多少少回避了。例如,第一卷公設三,明明線段可以“無限”延長,卻要說線段可以“任意”延長;又如第四卷命題二十,明明是證明了“素數有無窮多”,卻要寫成“素數的個數比任意給定的數目都多”。


    《原本》共十五卷。前六卷講幾何,接下來四卷是數論的內容,但用幾何的方式敘述,最后五卷仍然講幾何。第一卷首先給出了23個定義,開頭兩個不同凡響:點是沒有部分的(A point is that which has no part);線只有長度而沒有寬度(A line is breadthless length)。之后,是有關平面、直角、垂直、銳角、鈍角、平行線等的定義。定義之后是五個公設,前四個分別是:


    • 從任意一點到另一點可作一直線;

    • 線段可以任意延長;

    • 以任意中心、任意半徑可作一圓(以上是歐幾里得作圖法)

    • 凡直角皆相等。

    • 若一直線與兩直線相交,所構成的同旁內角小于兩直角,那么,把這兩直線延長,一定在那兩內角的一側相交。

     

    第五公設的敘述有些繁瑣和費解,但卻最為著名,直到兩千多年以后,18世紀的蘇格蘭數學家普萊費爾(Playfair,1748-1819)才給出今天我們熟知的簡潔形式(普萊費爾公設)

     

    • 過直線外一點,可以作且僅能作唯一的一條平行線。

     

    公設之后是公理,也是五個,其中前兩個為:

     

    • 等于同量的量彼此相等;

    • 整體大于局部。

     

    之后各卷,再也沒有公設或公理,而只有命題,每卷均有幾十個。卷一有48個命題,現在看起來比較初等。比如第5命題說的正是古希臘人老生常談的話題:等腰三角形兩個底角相等,且它們的外角也相等。那時歐洲的數學水平確實也很低,第5命題居然被認為是“驢橋”,意思是“笨蛋的難關”。


    卷二要深一些,其中命題5是一元二次方程的求解,基本上給出了如今中學里的公式解,其等價形式可以導出下列勾股數組:



    其中n可為任意正整數。依照普羅克洛斯的說法,這一數組是畢達哥拉斯給出的。他同時指出,柏拉圖給出了另一數組,即



    命題13是如今中學里熟知的余弦定理



    不過,歐幾里得是用幾何方法描述余弦定理的,并沒有出現三角函數。卷七開始講數論,開頭也給出了22個定義,最后一個是完美數的定義:一個數等于它自身的部分(真因子)之和,這個數叫完美數。等到了卷九,命題36才證明了完美數的著名結果:若是素數,則是完美數。值得一提的是,這個結論的逆定理要到兩千多年以后,才由瑞士數學家歐拉給出證明。于是我們有了:一個偶數是完美數當且僅當它是以下形式



    這里n和均為素數,其中如今被稱為梅森素數,以17世紀法國數學家、牧師梅森命名,迄今已發現51個梅森素數和51個偶完美數,尚沒有發現一個奇完美數。是否存在無窮多個偶完美數?以及是否存在奇完美數?是數學史上最古老的問題,同時也是最難的問題之一。


    早在8世紀末,《原本》就由巴格達阿拔斯王朝第五代哈里發拉希德時期的學者譯成阿拉伯文,它的第一個完整的拉丁文版本大約在1120年由英國經驗哲學家阿德拉德(Adelard of Bath, 約1116~1142)從阿拉伯文譯出,第一個完整的英譯本是蘇格蘭商人比林斯利爵士(Henry Billingsley, -1606)由希臘文原文在1570年譯出,他做過倫敦市長。


    1808年,稱雄歐洲、酷愛數學的法國人拿破侖在梵蒂岡圖書館找到一些希臘文數學手稿,將它們帶回到巴黎。其中就有歐幾里得兩種著作的手抄本,包括《原本》。幾年以后,《原本》的希臘文、拉丁文和法文版在法國同時出版了,它們被稱為梵蒂岡本,是公認最接近于原著的版本。


    利瑪竇與徐光啟


    《原本》最早的中文版是在1607年在北京出版的,由意大利傳教士利瑪竇(Matteo Ricci,1552-1610)和明代學者徐光啟(1562-1633)合作翻譯,卷首并排寫著“泰西利瑪竇口譯”、“吳淞徐光啟筆受”。這也是中國近代翻譯西方數學典籍的開始,從此開啟了中西學術交流的大門。


    他們所依據的是德國人克拉維烏斯(Christoph Clavius,1537-1612)的拉丁文增訂版,兩人只譯了前六卷,并起名《幾何原本》。出版不久,徐光啟父親去世,他扶柩南歸,丁憂三年。1610年,徐光啟回京復職,利瑪竇已不幸病逝。直到250年以后,才由英國傳教士偉烈亞力(Alexander Wylie,1815-1887)和清代數學家李善蘭(1811-1882)合作譯完《原本》并在上海出版。


    在19世紀非歐幾何學誕生以前,《原本》一直是幾何的推理、定理和方法的主要源泉。它也是現代科學產生的一個重要因素,其完整的演繹推理結構甚至給思想家們帶來靈感。可以說,《原本》既是對現實世界的仿制,也為這類仿制提供了必要的工具。


    從某種意義上講,這類仿制就是亞里士多德在《詩學》里談到的摹仿說。可以這么說,幾乎是在同一時期,古希臘以相似的方式誕生了作為數學和藝術最高理論結晶的《原本》和《詩學》。而到了文藝復興時期,繪畫的方法和實踐已離不開歐幾里得幾何學,其中最為突出的是透視原理和沒影點。


    吳文俊先生早年為《數學與藝術》一書親筆撰寫的推薦信(局部)。


    附注: 

    ①分析法是把復雜的事物或現象分解成若干簡單的組成部分,分別進行研究的方法。分析法是綜合法的對稱,后者是把各個組成部分、各個方面和各種因素聯系起來,從總體上認識和把握事物或現象的方法。

    ②歸謬法是反證法的一種形式。用反證法證時,如果命題只出現一種情況,那只需將它駁倒就可以,這種反證法叫“歸謬法”。如果有多種情況,那必需將它們一一駁倒,才能證明命題成立,這種反證法叫“窮舉法”。

    ③倍立方體是所謂古希臘三大幾何問題之一,另外兩個問題是化圓為方、三等分角,都要求只用直尺和圓規作圖。直到19世紀,隨著伽羅華理論出現和林德曼證明是超越數以后,數學家們才弄清楚,這三個問題實際上是不可解的。

    ④存在一種混淆,就是比歐幾里得早一個世紀的數學家兼哲學家歐克萊德斯(Eucleides of Megara),他是蘇格拉底的學生、柏拉圖《泰阿泰德篇》的對話者之一,Megara(麥加拉)是雅典西邊的城市。

    ⑤首先,由泰勒斯定理,半圓上的圓周角是直角;其次,由畢達哥拉斯定理;再由圓或半圓的面積計算公式,以AC和CB為直徑的半圓面積之和等于以AB為直徑的半圓面積;然后分別減去兩個公共的圓弧面積之和,即證得月牙定理。

     

     作者簡介 

    蔡天新

    浙江大學數學學院教授、博士生導師、求是特聘學者,近作有《小回憶》增訂版、《我的大學》、《26城記》、《數學與藝術》、《經典數論的現代導引》(中、英文版)、《完美數與契波那契序列》(即出),主編《地鐵之詩》、《高鐵之詩》。




    制版編輯 | Morgan


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