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    2021/08/02
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    弦論中如何將“小尺度”和“大尺度”聯系起來?
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    導讀


    上篇文章,我們解釋了弦在多維空間的運動方式。而本篇文章,我們通過閉弦在卷曲空間運動的特殊性,來看看弦論中如何將“小尺度”和“大尺度”聯系起來!

    先給結論:果弦的額外空間Aa太小而測不了的話,那就測一個可以測的更大的Ab吧,因為AaAb雖然大小不一樣,但是物理性質卻可以一模一樣!
    引言

    閉弦模型發現T對偶 卡拉比-丘隱藏鏡流形


    撰文 | 張天蓉

    責編 | 寧    茜 呂浩然


    弦論最重要的發現是所謂的“對偶性”(duality),它說的是:兩個看似毫無關系的幾何對象(或理論模型),卻擁有相同的物理性質。

     

    可以說,即使將來弦論被證明是錯的,但許多與數學及科學哲學相關的內容仍然會被留下來, “對偶性”必定是其中之一。

     

    通過對偶關系,可以將看似完全不同的理論聯結起來,得到相同的物理學(結論)。這意味著它們產生相同的散射振幅以及其他物理可觀測量。本篇以弦論中最為典型的T-對偶為例進行簡單的說明。


    01

    如何描述弦


    弦論中如何描述弦?首先我們想想傳統物理學中如何描述點粒子。基本粒子的特性包括質量、電荷、色荷、自旋等。不過,在粒子物理的標準模型中,點粒子是沒有大小可言的一個點,不可能解釋它們為什么有這些屬性,通常聽到的解釋話語是:這些都是基本粒子的內稟屬性。


    “內稟”二字,將我們遠遠地擋在粒子的內部之外,這也正符合點粒子模型,因為一個“點”是沒有“內部”可言的。沒有內部結構,當然就解釋不了質量或電荷這些數值從何而來。只能把它們歸結為內稟,“稟”字在漢語中的意思是“賜予、賦予”,就是與生俱來、永恒不變的,娘胎里帶來的“性質”,自然也不需要解釋,它(們)就是這樣樣子。

     

    到了弦論,情況就不一樣了。弦論自詡為比點粒子模型更深一層的物理理論,將解釋這些內稟屬性當作自己的任務之一。盡管目標尚未達到,但畢竟有這種意愿。

     

    這是一個美妙的目標和愿望。例如,基本粒子為什么有各種不同的質量m?根據愛因斯坦相對論中的質能關系,質量m也就對應內部能量E。那我們來看,弦論中如何描述弦?又如何從弦的屬性,來得到其內部的能量屬性?


    圖1:開弦和閉弦

    弦可以是閉的,也可以是開的。閉弦是一個圈,開弦是一根有兩個端點的線,見圖1。無論開弦閉弦,都可以規定一定的方向。弦論不止一種,有的弦論用不同方向的弦,代表不同的“荷”;也有的認為開弦的端點可以視為帶荷的粒子:例如,一端可以是帶負荷的電子,另一端可以是帶相反電荷的正電子。第二次弦論革命后,威滕(Edward Witten,1951- )提出M理論(M theory),用對偶性將5種不同的弦論統一在一個共同的10維(9維空間+1維時間)的框架里。

     

    所有的弦論都包括閉弦,因為一般認為:只有閉弦的振動才產生引力子,開弦產生其它粒子。開弦或閉弦在10維時空中的運動,可以分解為其質心的運動以及弦本身繞質心的振動兩部分。我們更感興趣弦繞質心振動的部分。

     

    假設一根“弦”,長度為L,質量為m,如圖1中最右邊的兩個圖所示。弦可以被看作是N個部分由N-1個彈簧連接起來的長度為L的一串諧振子 ,或者說,類似于一個L長且有彈性的橡皮繩(圈)。繩子的每個小部分是一個小小的諧振子,小振子的振動用相對位置變量σ和時間變量t描述。對開弦而言,σ的變化范圍從0到p;而對閉弦,范圍從0到2p,如圖1右圖所示。

     

    弦論學家認為,弦的質量m便來源于所有這些小振子的振動能量相加。顯而易見,總能量E(或質量)與弦的長度L有關,也與橡皮繩或某種材料的彈性系數(張力)有關。弦長L應該是個很小的數值,屬于普朗克尺度(Planck scale10-35米)范圍,但這點并不妨礙我們建立模型。

     

    根據以上模型,一定長度的弦應該有一個最小質量,即所有諧振子都處于基態時候的總能量。人們驚奇地發現,為了保證光子的零靜止質量,弦論只能容許空間是一定的維度。計算得到,對最早的玻色弦論(Bosonic string theory),空間維度只能是25。對后來的超弦論(Superstring Theory),空間維度只能是9。這就是弦論中10維時空的來由。為什么是25和9 ?我們將這個問題的詳細解釋,留待下一篇介紹。


    02

    閉弦的T對偶


    現在,我們利用圖1對閉弦的描述方式,介紹T對偶。

     

    T-對偶又被稱作“靶空間”對偶(target space duality),是關于不同空間之間的對偶。如上一篇所介紹的,我們忽略無關緊要的細節,將弦論的空間分成普通3維空間x和額外維卷曲空間y,將環面緊致部分用y方向的圓圈R表示。也就是說,將弦論的9維宇宙簡單畫成一個花園中的水管,如下圖所示。


    圖2:未繞圈閉弦(a)和繞圈的閉弦(b)


    從卷曲空間的角度看,閉弦有兩種不同形態:纏繞數w為0或不為0,分別如圖2(a)和(b)所示。當閉弦不纏繞額外維空間時,其質心作自由運動,如同花園里一個小飛蟲,可以在水管方向運動,在繞水管的方向運動,或者在兩個方向之間運動。


    因此,動量p可以是朝向3維空間方向,也可能是額外維方向,或者是兩者的組合,見圖2a。因為額外維度半徑R小而卷曲,py是量子化的:該閉弦在y方向(額外空間)的能量Ey ~ n/R。(注:這兒只是為了定性說明能量與R的關系,所以使用“~”符號,表示不是完全相等。)

     

    有意思的現象發生于閉弦纏繞額外空間維y時(圖2b),這時候多了一個整數w,代表閉弦在R空間纏繞的圈數。

     

    纏繞閉弦除了在R方向(y)具有能量Ey ~ n/R之外,在x方向可以作整體滑動,這部分能量的最小值正比于弦的長度L,弦越長,最小能量越大,因為這條弦包含的“東西”更多。由于圓周長正比于半徑,所以纏繞弦的極小質量正比于繞數與半徑R的乘積:E~wR。

     

    因此,纏繞的閉弦總能量(也就是總質量)來源于ExEy兩套不同的能譜,粗略而言,前者以R為能級間隔,后者以1/R為能級間隔。R增大,Ex的能級間隔增大,但Ey的能級間隔減小;R減小時,情況則反過來。


    圖3:纏繞閉弦的總能譜


    然而,物理測量方法并不能判別實驗所得數據來自于哪套能譜,因為兩者如同圖三右側顯示,是疊加在一起的(紅藍疊加)。測量上,也只能通過測量散射振幅來得到總譜中各個能級之間的躍遷情況。如圖3所示,總能量譜等于將兩套能量譜(間隔為R的,和間隔為1/R的)加到一起得到的結果。

     

    換言之,如果有兩個不同的弦論系統,一個認定卷曲維的尺寸比較小:R1=a;另一個的卷曲維尺寸R2=1/a,便會比較大,見圖4。但是,從以上的分析可知,這兩個幾何尺度不同的系統,總能量譜卻是一樣的。因此,它們將表現出完全相同的物理性質。這就是所謂的“閉弦理論中的T對偶性”。

     

    這是一個非常奇怪而有趣的對偶特性 ,在具體深入解釋之前,首先需要弄明白以上所述的額外維半徑R的單位是什么。


    圖4:閉弦的兩個T對偶系統


    這兒的R是以普朗克長度lp為單位,也就是說,R=1=1/R意味著額外維的大小是lp。這時候兩個T對偶系統是一樣的。當R=10時,1/R=0.1,這兩個系統的物理性質也是一樣的(因為總能譜一樣),對R的其它數值也是如此。于是,弦論得出一個非常令人驚訝的結論:不論卷曲世界是“粗”還是“細”,它們是物理等效的。


    03

    卡拉比-丘流形的鏡像對稱

    圖4中是T對偶的最簡單情形,很容易推廣到6維平坦環面,也就是圓的乘積,只需要將R用多個Ri代替即可。六維的Ri環面與六維的1/Ri環面,幾何尺寸完全不同,但它們從物理觀點卻是無法區分的。

     

    我們曾經介紹過卡拉比-丘流形( Calabi-Yau manifold),它很復雜,但它是6維額外卷曲空間最符合實際物理情況的候選者。錢德拉(Philip Candelas,1951- )等人在上世紀90年代發現了卡拉比-丘流形中的“鏡像對稱”(mirror symmetry)流形,并將其用于枚舉幾何,計算卡丘流形上有理曲線的數目,從而啟發數學家解決了一些長期的難題

     

    弦論學者們也證明了:卡拉比-丘流形的鏡對稱就是T對偶性。卡拉比-丘流形的鏡像對稱,并不是通常意義上所說的“鏡中之像”那種反演對稱,而是指卡拉比-丘流形之間的一種特殊關系,這是一種很奇怪的“鏡對稱”,互為“鏡伴”的兩個流形幾何上差別很大,拓撲形態也很不同。然而,它們遵循T對偶性,在物理上卻是不可區分的。

     

    之后,丘成桐(Shing-tung Yau,1949-)等三位數學家發表了SYZ論文(SYZ以三位姓氏的首寫字母命名),為“鏡對稱”提供了一個比較簡單直觀的幾何圖像。他們認為,卡拉比-丘流形基本上可以分成兩個三維的部分,彼此以類似笛卡兒乘積(Cartesian product)的方式糾纏在一起。其中一個空間是三維環面,如果你將這個空間分離出來,并將它“倒轉”后(將半徑r變成半徑1/r)再重組回去,就可以得到原來卡拉比-丘流形的鏡流形。


    04

    再回簡單T對偶


    仔細琢磨一下,以上介紹的閉弦T對偶性似乎有不少毛病。比如說,當我們將額外維的半徑從R變成1/R,在物理上卻沒有區別。這個說法乍一聽不可理解。讀者可能會問:這個額外維世界到底是多大?是R還是1/R?它是客觀真實存在的嗎?難道就沒有一個辦法準確地測量它?

     

    在 “傳統”幾何學中,半徑為R的圓與半徑為1/R的圓是絕對大小不同的兩個幾何實體,在廣義相對論的彎曲空間中,它們也應該是對應于兩個物理規律不同的世界。然而在弦論中,它們卻奇怪地互為對偶,反映同樣的物理規律,這難道不令人困惑嗎?

     

    不過,弦論專家并未因困惑而止步于此,反而認為這正表現了“弦”模型相對于“點”模型的魅力所在。實際上,和我們經常聽到奇妙量子現象時的反應一樣,困惑是由我們的經典思維方式產生的。

     

    下面對此稍微解釋一下。

     

    因為R所用的單位是普朗克長度lp,大約等于1.6162×10-35米。所以,如果R=100,就是100lp,大約是10-33米數量級。盡管仍然很小,卻是普朗克長度的100倍。而另外一個對偶的系統之尺度R=0.01,這個小宇宙比普朗克長度還要小兩個數量級。在這種尺度,粒子物理的“點”模型碰到了難以克服的困難:廣義相對論與量子力學之間的矛盾整個顯露出來了。連續光滑的黎曼幾何(Riemannian geometry)已經不能使用,時空中不停地發生著災難性的小尺度的量子漲落,基于黎曼幾何的廣義相對論對此無能為力。

     

    我們在本文開始時說到了測量的問題。讀者也會說:是否可以對“額外維半徑R”進行測量來驗證它的大小呢?說到測量,這也是“點粒子”模型的短板。因為要測量一個長度,需要一個比這個長度更小的“探針”。點模型中認為尺度為0的“點”是最基本的元素,那就是意味著,可以用點粒子作為探針來分解和測量任意小的空間。但實際上又不可能做到,因為量子力學的不確定性原理限制了它。如此一來,使得點模型從理論上就不能自圓其說。

     

    弦論的說法就聰明多了。因為,“弦”這個基本元素不是一個點,而是一段具有伸展性的“弦”,它具有可與普朗克尺度相比較的長度。弦作為最基本的元素,也能當探針使用。但遺憾的是,它只能測量比它大的東西,普朗克長度以下的空間結構性質,弦是探測不到的,也很難去測量那么小的長度。

     

    所以,弦的延伸本性使我們不可能在弦論中探測普朗克長度以下的現象,弦論對普朗克尺度下的 “量子漲落”、黎曼幾何災難等,都因為“探測不了”而可以“視而不見”。從量子物理的觀念,只有可以探尋和測量的事物才是存在的。從而在弦論看來,普朗克長度以下的現象可以說是不存在的。

     

    雖然不能直接測量,但弦論又發現了美妙的T對偶性,它將半徑小于普朗克長度以下的空間對應到一個半徑大于普朗克長度的空間。既然它們具有同樣的物理屬性,探索大的不也就等于探索小的嗎?因此,小的就不用測量了!

     

    讀到這兒,你對弦論中的對偶性可能產生了一些好奇吧。且聽下回繼續分解。


    制版編輯 | Morgan


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